---

Step * 1 1 1 of Lemma differentiable-continuous


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
5. d(f[x])/dx = λx.g[x] on I
6. g[x] (proper)continuous for x ∈ I
7. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m)) ∧ iproper(i-approx(I;m))} 
8. n : ℕ+
9. i-approx(I;m) ⊆ I 
10. M : ℕ+
11. |g x|(x∈i-approx(I;m)) ≤ r(M)
⊢ ∃d:ℝ [((r0 < d)
       ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))]
BY
{ xxx(Assert ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|g[x] * (y - x)| ≤ (r(M) * |y - x|))) BY
            (Auto
             THEN (With ⌜|g x|⌝ (D (-5))⋅ THENA Auto)
             THEN (D -1 THENA (InstLemma `rset-member-rrange` [⌜i-approx(I;m)⌝;⌜λ2x.|g x|⌝]⋅ THEN Auto))
             THEN (RWO "rabs-rmul" 0 THENA Auto)
             THEN RWO "-1" 0⋅
             THEN Auto))xxx }

1
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
5. d(f[x])/dx = λx.g[x] on I
6. g[x] (proper)continuous for x ∈ I
7. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m)) ∧ iproper(i-approx(I;m))} 
8. n : ℕ+
9. i-approx(I;m) ⊆ I 
10. M : ℕ+
11. |g x|(x∈i-approx(I;m)) ≤ r(M)
12. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|g[x] * (y - x)| ≤ (r(M) * |y - x|)))
⊢ ∃d:ℝ [((r0 < d)
       ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  g  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g[x]  =  g[y]))
5.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.g[x]  on  I
6.  g[x]  (proper)continuous  for  x  \mmember{}  I
7.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))  \mwedge{}  iproper(i-approx(I;m))\} 
8.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  i-approx(I;m)  \msubseteq{}  I 
10.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  |g  x|(x\mmember{}i-approx(I;m))  \mleq{}  r(M)
\mvdash{}  \mexists{}d:\mBbbR{}  [((r0  <  d)
              \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                        ((x  \mmember{}  i-approx(I;m))
                        {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;m))
                        {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                        {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n))))))]


By

---

Latex:
xxx(Assert  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                          ((x  \mmember{}  i-approx(I;m))
                          {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;m))
                          {}\mRightarrow{}  (|g[x]  *  (y  -  x)|  \mleq{}  (r(M)  *  |y  -  x|)))  BY
                    (Auto
                      THEN  (With  \mkleeneopen{}|g  x|\mkleeneclose{}  (D  (-5))\mcdot{}  THENA  Auto)
                      THEN  (D  -1
                                  THENA  (InstLemma  `rset-member-rrange`  [\mkleeneopen{}i-approx(I;m)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.|g  x|\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
                                  )
                      THEN  (RWO  "rabs-rmul"  0  THENA  Auto)
                      THEN  RWO  "-1"  0\mcdot{}
                      THEN  Auto))xxx

---

Home Index