---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma finite-subcover-implies-m-TB


1. [X] : Type
2. d : metric(X)
3. ∀[I:Type]. ∀[A:I ⟶ X ⟶ ℙ].  (m-open-cover(X;d;I;i,x.A[i;x]) ⇒ (∃n:ℕ+. ∃L:ℕn ⟶ I. ∀x:X. ∃j:ℕn. A[L j;x]))
4. k : ℕ
5. x : X
6. y : X
7. mdist(d;x;y) < (r1/r(k + 1))
8. k@0 : ℕ+
9. (r1/r(k@0)) < ((r1/r(k + 1)) - mdist(d;x;y))
10. y@0 : X
11. mdist(d;y;y@0) ≤ (r1/r(k@0))
⊢ mdist(d;x;y@0) < (r1/r(k + 1))
BY
{ (InstLemma `mdist-triangle-inequality` [⌜X⌝;⌜d⌝;⌜x⌝;⌜y⌝;⌜y@0⌝]⋅ THENA Auto) }

1
1. [X] : Type
2. d : metric(X)
3. ∀[I:Type]. ∀[A:I ⟶ X ⟶ ℙ].  (m-open-cover(X;d;I;i,x.A[i;x]) ⇒ (∃n:ℕ+. ∃L:ℕn ⟶ I. ∀x:X. ∃j:ℕn. A[L j;x]))
4. k : ℕ
5. x : X
6. y : X
7. mdist(d;x;y) < (r1/r(k + 1))
8. k@0 : ℕ+
9. (r1/r(k@0)) < ((r1/r(k + 1)) - mdist(d;x;y))
10. y@0 : X
11. mdist(d;y;y@0) ≤ (r1/r(k@0))
12. mdist(d;x;y@0) ≤ (mdist(d;x;y) + mdist(d;y;y@0))
⊢ mdist(d;x;y@0) < (r1/r(k + 1))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [X]  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  \mforall{}[I:Type].  \mforall{}[A:I  {}\mrightarrow{}  X  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
          (m-open-cover(X;d;I;i,x.A[i;x])  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}L:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  I.  \mforall{}x:X.  \mexists{}j:\mBbbN{}n.  A[L  j;x]))
4.  k  :  \mBbbN{}
5.  x  :  X
6.  y  :  X
7.  mdist(d;x;y)  <  (r1/r(k  +  1))
8.  k@0  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  (r1/r(k@0))  <  ((r1/r(k  +  1))  -  mdist(d;x;y))
10.  y@0  :  X
11.  mdist(d;y;y@0)  \mleq{}  (r1/r(k@0))
\mvdash{}  mdist(d;x;y@0)  <  (r1/r(k  +  1))


By

---

Latex:
(InstLemma  `mdist-triangle-inequality`  [\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y@0\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index