---

Step * 2 of Lemma fun-converges-rmul


1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. g[x] continuous for x ∈ I
5. a : {a:ℕ+| icompact(i-approx(I;a))} 
6. ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n,m:{N...}.  (|f[n;x] - f[m;x]| ≤ (r1/r(k)))
7. k : ℕ+
8. ∃M:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . (|g[x]| ≤ r(M))
⊢ ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n,m:{N...}.  (|(f[n;x] * g[x]) - f[m;x] * g[x]| ≤ (r1/r(k)))
BY
{ ((Assert i-approx(I;a) ⊆ I  BY
          Auto)
   THEN D (-2)
   THEN (InstHyp [⌜k * M⌝] (-5)⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 4 (ParallelLast)
   THEN (RWW "rmul-rsub-distrib.2< rabs-rmul" 0 THENA Auto)) }

1
1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. g[x] continuous for x ∈ I
5. a : {a:ℕ+| icompact(i-approx(I;a))} 
6. ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n,m:{N...}.  (|f[n;x] - f[m;x]| ≤ (r1/r(k)))
7. k : ℕ+
8. M : ℕ+
9. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . (|g[x]| ≤ r(M))
10. i-approx(I;a) ⊆ I 
11. N : ℕ+
12. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n,m:{N...}.  (|f[n;x] - f[m;x]| ≤ (r1/r(k * M)))
13. x : {x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} 
14. ∀n,m:{N...}.  (|f[n;x] - f[m;x]| ≤ (r1/r(k * M)))
15. n : {N...}
16. ∀m:{N...}. (|f[n;x] - f[m;x]| ≤ (r1/r(k * M)))
17. m : {N...}
18. |f[n;x] - f[m;x]| ≤ (r1/r(k * M))
⊢ (|f[n;x] - f[m;x]| * |g[x]|) ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  g  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  g[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
5.  a  :  \{a:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;a))\} 
6.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;a)\}  .  \mforall{}n,m:\{N...\}.    (|f[n;x]  -  f[m;x]|  \mleq{}  (r1/r(k)))
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  \mexists{}M:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;a)\}  .  (|g[x]|  \mleq{}  r(M))
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;a)\}  .  \mforall{}n,m:\{N...\}.    (|(f[n;x]  *  g[x])  -  f[m;x]  *  g[x]|  \mleq{}  (r1/r(k)))


By

---

Latex:
((Assert  i-approx(I;a)  \msubseteq{}  I    BY
                Auto)
  THEN  D  (-2)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}k  *  M\mkleeneclose{}]  (-5)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  4  (ParallelLast)
  THEN  (RWW  "rmul-rsub-distrib.2<  rabs-rmul"  0  THENA  Auto))

---

Home Index