---

Step * 2 1 of Lemma fun-converges-rmul


1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. g[x] continuous for x ∈ I
5. a : {a:ℕ+| icompact(i-approx(I;a))} 
6. ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n,m:{N...}.  (|f[n;x] - f[m;x]| ≤ (r1/r(k)))
7. k : ℕ+
8. M : ℕ+
9. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . (|g[x]| ≤ r(M))
10. i-approx(I;a) ⊆ I 
11. N : ℕ+
12. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n,m:{N...}.  (|f[n;x] - f[m;x]| ≤ (r1/r(k * M)))
13. x : {x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} 
14. ∀n,m:{N...}.  (|f[n;x] - f[m;x]| ≤ (r1/r(k * M)))
15. n : {N...}
16. ∀m:{N...}. (|f[n;x] - f[m;x]| ≤ (r1/r(k * M)))
17. m : {N...}
18. |f[n;x] - f[m;x]| ≤ (r1/r(k * M))
⊢ (|f[n;x] - f[m;x]| * |g[x]|) ≤ (r1/r(k))
BY
{ (RWO "-1 9" 0 THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. g[x] continuous for x ∈ I
5. a : {a:ℕ+| icompact(i-approx(I;a))} 
6. ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n,m:{N...}.  (|f[n;x] - f[m;x]| ≤ (r1/r(k)))
7. k : ℕ+
8. M : ℕ+
9. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . (|g[x]| ≤ r(M))
10. i-approx(I;a) ⊆ I 
11. N : ℕ+
12. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n,m:{N...}.  (|f[n;x] - f[m;x]| ≤ (r1/r(k * M)))
13. x : {x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} 
14. ∀n,m:{N...}.  (|f[n;x] - f[m;x]| ≤ (r1/r(k * M)))
15. n : {N...}
16. ∀m:{N...}. (|f[n;x] - f[m;x]| ≤ (r1/r(k * M)))
17. m : {N...}
18. |f[n;x] - f[m;x]| ≤ (r1/r(k * M))
⊢ ((r1/r(k * M)) * r(M)) ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  g  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  g[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
5.  a  :  \{a:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;a))\} 
6.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;a)\}  .  \mforall{}n,m:\{N...\}.    (|f[n;x]  -  f[m;x]|  \mleq{}  (r1/r(k)))
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;a)\}  .  (|g[x]|  \mleq{}  r(M))
10.  i-approx(I;a)  \msubseteq{}  I 
11.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;a)\}  .  \mforall{}n,m:\{N...\}.    (|f[n;x]  -  f[m;x]|  \mleq{}  (r1/r(k  *  M)))
13.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;a)\} 
14.  \mforall{}n,m:\{N...\}.    (|f[n;x]  -  f[m;x]|  \mleq{}  (r1/r(k  *  M)))
15.  n  :  \{N...\}
16.  \mforall{}m:\{N...\}.  (|f[n;x]  -  f[m;x]|  \mleq{}  (r1/r(k  *  M)))
17.  m  :  \{N...\}
18.  |f[n;x]  -  f[m;x]|  \mleq{}  (r1/r(k  *  M))
\mvdash{}  (|f[n;x]  -  f[m;x]|  *  |g[x]|)  \mleq{}  (r1/r(k))


By

---

Latex:
(RWO  "-1  9"  0  THEN  Auto)

---

Home Index