---

Step * of Lemma fun-converges-to-continuous

∀[I:Interval]. ∀[f:ℕ ⟶ I ⟶ℝ]. ∀[g:I ⟶ℝ].
  (lim n→∞.f[n;x] = λy.g[y] for x ∈ I ⇒ (∀n:ℕ. f[n;x] continuous for x ∈ I) ⇒ g[y] continuous for y ∈ I)
BY
{ (Auto
   THEN D 0
   THEN Auto
   THEN (With ⌜m⌝ (D 4)⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert ∀n:ℕ. ∀k:ℕ+.
                  (∃d:{ℝ| ((r0 < d)
                          ∧ (∀x,y:ℝ.
                               ((x ∈ i-approx(I;m))
                               ⇒ (y ∈ i-approx(I;m))
                               ⇒ (|x - y| ≤ d)
                               ⇒ (|f[n;x] - f[n;y]| ≤ (r1/r(k))))))}) BY
               ((ParallelOp 4 THENA Auto) THEN With ⌜m⌝ (D (-1))⋅ THEN Auto))
   THEN Thin 4
   THEN (With ⌜3 * n⌝ (D (-2))⋅ THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN (With ⌜N⌝ (D (-3))⋅ THENA Auto)
   THEN (With ⌜3 * n⌝ (D (-1))⋅ THENA Auto)
   THEN ParallelLast
   THEN Auto
   THEN ∀h:hyp. (FLemma `i-member-approx` [h] THEN Auto) ) }

1
1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} @i
5. n : ℕ+@i
6. N : ℕ+@i
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n@0:{N...}.  (|f[n@0;x] - g[x]| ≤ (r1/r(3 * n)))@i
8. d : ℝ
9. r0 < d
10. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[N;x] - f[N;y]| ≤ (r1/r(3 * n))))
11. r0 < d
12. y : ℝ@i
13. y@0 : ℝ@i
14. y ∈ i-approx(I;m)@i
15. y@0 ∈ i-approx(I;m)@i
16. |y - y@0| ≤ d@i
17. y@0 ∈ I
18. y ∈ I
⊢ |g[y] - g[y@0]| ≤ (r1/r(n))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[I:Interval].  \mforall{}[f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}].  \mforall{}[g:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}].
    (lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f[n;x]  =  \mlambda{}y.g[y]  for  x  \mmember{}  I
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  f[n;x]  continuous  for  x  \mmember{}  I)
    {}\mRightarrow{}  g[y]  continuous  for  y  \mmember{}  I)


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  D  0
  THEN  Auto
  THEN  (With  \mkleeneopen{}m\mkleeneclose{}  (D  4)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.
                                (\mexists{}d:\{\mBbbR{}|  ((r0  <  d)
                                                \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                                          ((x  \mmember{}  i-approx(I;m))
                                                          {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;m))
                                                          {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                                          {}\mRightarrow{}  (|f[n;x]  -  f[n;y]|  \mleq{}  (r1/r(k))))))\})  BY
                          ((ParallelOp  4  THENA  Auto)  THEN  With  \mkleeneopen{}m\mkleeneclose{}  (D  (-1))\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  Thin  4
  THEN  (With  \mkleeneopen{}3  *  n\mkleeneclose{}  (D  (-2))\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  (With  \mkleeneopen{}N\mkleeneclose{}  (D  (-3))\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (With  \mkleeneopen{}3  *  n\mkleeneclose{}  (D  (-1))\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ParallelLast
  THEN  Auto
  THEN  \mforall{}h:hyp.  (FLemma  `i-member-approx`  [h]  THEN  Auto)  )

---

Home Index