---

Step * 1 of Lemma fun-converges-to-continuous


1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} @i
5. n : ℕ+@i
6. N : ℕ+@i
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n@0:{N...}.  (|f[n@0;x] - g[x]| ≤ (r1/r(3 * n)))@i
8. d : ℝ
9. r0 < d
10. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[N;x] - f[N;y]| ≤ (r1/r(3 * n))))
11. r0 < d
12. y : ℝ@i
13. y@0 : ℝ@i
14. y ∈ i-approx(I;m)@i
15. y@0 ∈ i-approx(I;m)@i
16. |y - y@0| ≤ d@i
17. y@0 ∈ I
18. y ∈ I
⊢ |g[y] - g[y@0]| ≤ (r1/r(n))
BY
{ (RenameVar `x' 13 THEN UseTriangleInequality [⌜f[N;y]⌝;⌜f[N;x]⌝]⋅) }

1
1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} @i
5. n : ℕ+@i
6. N : ℕ+@i
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n@0:{N...}.  (|f[n@0;x] - g[x]| ≤ (r1/r(3 * n)))@i
8. d : ℝ
9. r0 < d
10. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[N;x] - f[N;y]| ≤ (r1/r(3 * n))))
11. r0 < d
12. y : ℝ@i
13. x : ℝ@i
14. y ∈ i-approx(I;m)@i
15. x ∈ i-approx(I;m)@i
16. |y - x| ≤ d@i
17. x ∈ I
18. y ∈ I
⊢ (|g[y] - f[N;y]| + |f[N;y] - f[N;x]| + |f[N;x] - g[x]|) ≤ (r1/r(n))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  g  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))\}  @i
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
6.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
7.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;m)\}  .  \mforall{}n@0:\{N...\}.    (|f[n@0;x]  -  g[x]|  \mleq{}  (r1/r(3  *  n)))@i
8.  d  :  \mBbbR{}
9.  r0  <  d
10.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.
            ((x  \mmember{}  i-approx(I;m))
            {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;m))
            {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
            {}\mRightarrow{}  (|f[N;x]  -  f[N;y]|  \mleq{}  (r1/r(3  *  n))))
11.  r0  <  d
12.  y  :  \mBbbR{}@i
13.  y@0  :  \mBbbR{}@i
14.  y  \mmember{}  i-approx(I;m)@i
15.  y@0  \mmember{}  i-approx(I;m)@i
16.  |y  -  y@0|  \mleq{}  d@i
17.  y@0  \mmember{}  I
18.  y  \mmember{}  I
\mvdash{}  |g[y]  -  g[y@0]|  \mleq{}  (r1/r(n))


By

---

Latex:
(RenameVar  `x'  13  THEN  UseTriangleInequality  [\mkleeneopen{}f[N;y]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f[N;x]\mkleeneclose{}]\mcdot{})

---

Home Index