---

Step * 1 1 1 2 1 1 1 1 2 of Lemma fun-converges-to-cosine


1. ∀x:ℝ. Σi.-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! = cosine(x)
2. m : ℕ+
3. r0 ≤ (r1/r(4))
4. (r1/r(4)) < r1
5. x : {x:ℝ| |x| ≤ r(m)} 
6. 1 ≤ m
7. n : ℕ
8. m ≤ n
9. r0 < r((2 * n)!)
10. r0 < r(((2 * n) + 1)!)
11. |r((2 * (n + 1))!)| = r((2 * (n + 1))!)
12. |r((2 * n)!)| = r((2 * n)!)
⊢ (|x^2 * (n + 1)|/|r((2 * (n + 1))!)|) ≤ ((r1/r(4)) * (|x^2 * n|/|r((2 * n)!)|))
BY
{ Assert ⌜|r((2 * (n + 1))!)| = (r(((2 * n) + 2) * ((2 * n) + 1)) * |r((2 * n)!)|)⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. ∀x:ℝ. Σi.-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! = cosine(x)
2. m : ℕ+
3. r0 ≤ (r1/r(4))
4. (r1/r(4)) < r1
5. x : {x:ℝ| |x| ≤ r(m)} 
6. 1 ≤ m
7. n : ℕ
8. m ≤ n
9. r0 < r((2 * n)!)
10. r0 < r(((2 * n) + 1)!)
11. |r((2 * (n + 1))!)| = r((2 * (n + 1))!)
12. |r((2 * n)!)| = r((2 * n)!)
⊢ |r((2 * (n + 1))!)| = (r(((2 * n) + 2) * ((2 * n) + 1)) * |r((2 * n)!)|)

2
1. ∀x:ℝ. Σi.-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! = cosine(x)
2. m : ℕ+
3. r0 ≤ (r1/r(4))
4. (r1/r(4)) < r1
5. x : {x:ℝ| |x| ≤ r(m)} 
6. 1 ≤ m
7. n : ℕ
8. m ≤ n
9. r0 < r((2 * n)!)
10. r0 < r(((2 * n) + 1)!)
11. |r((2 * (n + 1))!)| = r((2 * (n + 1))!)
12. |r((2 * n)!)| = r((2 * n)!)
13. |r((2 * (n + 1))!)| = (r(((2 * n) + 2) * ((2 * n) + 1)) * |r((2 * n)!)|)
⊢ (|x^2 * (n + 1)|/|r((2 * (n + 1))!)|) ≤ ((r1/r(4)) * (|x^2 * n|/|r((2 * n)!)|))

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mSigma{}i.-1\^{}i  *  (x\^{}2  *  i)/(2  *  i)!  =  cosine(x)
2.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  r0  \mleq{}  (r1/r(4))
4.  (r1/r(4))  <  r1
5.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  r(m)\} 
6.  1  \mleq{}  m
7.  n  :  \mBbbN{}
8.  m  \mleq{}  n
9.  r0  <  r((2  *  n)!)
10.  r0  <  r(((2  *  n)  +  1)!)
11.  |r((2  *  (n  +  1))!)|  =  r((2  *  (n  +  1))!)
12.  |r((2  *  n)!)|  =  r((2  *  n)!)
\mvdash{}  (|x\^{}2  *  (n  +  1)|/|r((2  *  (n  +  1))!)|)  \mleq{}  ((r1/r(4))  *  (|x\^{}2  *  n|/|r((2  *  n)!)|))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}|r((2  *  (n  +  1))!)|  =  (r(((2  *  n)  +  2)  *  ((2  *  n)  +  1))  *  |r((2  *  n)!)|)\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index