---

Step * 1 of Lemma fun-ratio-test


1. c : ℝ
2. r0 ≤ c
3. c < r1
4. N : ℕ
5. I : Interval
6. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
7. ∀n:ℕ. g[n;x] continuous for x ∈ I
8. icompact(I)
9. ∀n:{N...}. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g[n + 1;x]| ≤ (c * |g[n;x]|))
⊢ λn.Σ{|g[i;x]| | 0≤i≤n}↓ for x ∈ I)
BY
{ (Assert ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g[N + n;x]| ≤ (c^n * |g[N;x]|)) BY
         InductionOnNat)⋅ }

1
.....aux..... 
1. c : ℝ
2. r0 ≤ c
3. c < r1
4. N : ℕ
5. I : Interval
6. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
7. ∀n:ℕ. g[n;x] continuous for x ∈ I
8. icompact(I)
9. ∀n:{N...}. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g[n + 1;x]| ≤ (c * |g[n;x]|))
10. n : ℤ
⊢ ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (|g[N + 0;x]| ≤ (c^0 * |g[N;x]|))

2
.....aux..... 
1. c : ℝ
2. r0 ≤ c
3. c < r1
4. N : ℕ
5. I : Interval
6. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
7. ∀n:ℕ. g[n;x] continuous for x ∈ I
8. icompact(I)
9. ∀n:{N...}. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g[n + 1;x]| ≤ (c * |g[n;x]|))
10. n : ℤ
11. 0 < n
12. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (|g[N + (n - 1);x]| ≤ (c^n - 1 * |g[N;x]|))
⊢ ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (|g[N + n;x]| ≤ (c^n * |g[N;x]|))

3
1. c : ℝ
2. r0 ≤ c
3. c < r1
4. N : ℕ
5. I : Interval
6. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
7. ∀n:ℕ. g[n;x] continuous for x ∈ I
8. icompact(I)
9. ∀n:{N...}. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g[n + 1;x]| ≤ (c * |g[n;x]|))
10. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g[N + n;x]| ≤ (c^n * |g[N;x]|))
⊢ λn.Σ{|g[i;x]| | 0≤i≤n}↓ for x ∈ I)

---

Latex:

---

Latex:

1.  c  :  \mBbbR{}
2.  r0  \mleq{}  c
3.  c  <  r1
4.  N  :  \mBbbN{}
5.  I  :  Interval
6.  g  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  g[n;x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
8.  icompact(I)
9.  \mforall{}n:\{N...\}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    (|g[n  +  1;x]|  \mleq{}  (c  *  |g[n;x]|))
\mvdash{}  \mlambda{}n.\mSigma{}\{|g[i;x]|  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}\mdownarrow{}  for  x  \mmember{}  I)


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    (|g[N  +  n;x]|  \mleq{}  (c\^{}n  *  |g[N;x]|))  BY
              InductionOnNat)\mcdot{}

---

Home Index