---

Step * 1 3 1 of Lemma fun-ratio-test

.....antecedent..... 
1. c : ℝ
2. r0 ≤ c
3. c < r1
4. N : ℕ
5. I : Interval
6. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
7. ∀n:ℕ. g[n;x] continuous for x ∈ I
8. icompact(I)
9. ∀n:{N...}. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g[n + 1;x]| ≤ (c * |g[n;x]|))
10. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g[N + n;x]| ≤ (c^n * |g[N;x]|))
⊢ Σn.λi,x. if N ≤z i then c^i - N * |g[N;x]| else |g[i;x]| fi [n;x]↓ for x ∈ I
BY
{ (All (RepUR ``so_apply``) THEN Assert ⌜Σn.c^n * |g N x|↓ for x ∈ I⌝⋅) }

1
.....assertion..... 
1. c : ℝ
2. r0 ≤ c
3. c < r1
4. N : ℕ
5. I : Interval
6. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
7. ∀n:ℕ. g n x continuous for x ∈ I
8. icompact(I)
9. ∀n:{N...}. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g (n + 1) x| ≤ (c * |g n x|))
10. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g (N + n) x| ≤ (c^n * |g N x|))
⊢ Σn.c^n * |g N x|↓ for x ∈ I

2
1. c : ℝ
2. r0 ≤ c
3. c < r1
4. N : ℕ
5. I : Interval
6. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
7. ∀n:ℕ. g n x continuous for x ∈ I
8. icompact(I)
9. ∀n:{N...}. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g (n + 1) x| ≤ (c * |g n x|))
10. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g (N + n) x| ≤ (c^n * |g N x|))
11. Σn.c^n * |g N x|↓ for x ∈ I
⊢ Σn.if N ≤z n then c^n - N * |g N x| else |g n x| fi ↓ for x ∈ I

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  c  :  \mBbbR{}
2.  r0  \mleq{}  c
3.  c  <  r1
4.  N  :  \mBbbN{}
5.  I  :  Interval
6.  g  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  g[n;x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
8.  icompact(I)
9.  \mforall{}n:\{N...\}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    (|g[n  +  1;x]|  \mleq{}  (c  *  |g[n;x]|))
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    (|g[N  +  n;x]|  \mleq{}  (c\^{}n  *  |g[N;x]|))
\mvdash{}  \mSigma{}n.\mlambda{}i,x.  if  N  \mleq{}z  i  then  c\^{}i  -  N  *  |g[N;x]|  else  |g[i;x]|  fi  [n;x]\mdownarrow{}  for  x  \mmember{}  I


By

---

Latex:
(All  (RepUR  ``so\_apply``)  THEN  Assert  \mkleeneopen{}\mSigma{}n.c\^{}n  *  |g  N  x|\mdownarrow{}  for  x  \mmember{}  I\mkleeneclose{}\mcdot{})

---

Home Index