---

Step * 1 of Lemma function-is-continuous


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
5. n : ℕ+
⊢ ∃d:ℝ [((r0 < d)
       ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))]
BY
{ (Assert f[x] continuous for x ∈ i-approx(I;m) BY
         (BLemma `ifun-continuous` THEN Auto)) }

1
.....aux..... 
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
4. m : ℕ+
5. icompact(i-approx(I;m))
6. n : ℕ+
7. x : {x:ℝ| x ∈ [left-endpoint(i-approx(I;m)), right-endpoint(i-approx(I;m))]} 
8. y : {x:ℝ| x ∈ [left-endpoint(i-approx(I;m)), right-endpoint(i-approx(I;m))]} 
9. x = y
⊢ (f x) = (f y)

2
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
5. n : ℕ+
6. f[x] continuous for x ∈ i-approx(I;m)
⊢ ∃d:ℝ [((r0 < d)
       ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  f[y]))
4.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))\} 
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
\mvdash{}  \mexists{}d:\mBbbR{}  [((r0  <  d)
              \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                        ((x  \mmember{}  i-approx(I;m))
                        {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;m))
                        {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                        {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n))))))]


By

---

Latex:
(Assert  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  i-approx(I;m)  BY
              (BLemma  `ifun-continuous`  THEN  Auto))

---

Home Index