---

Step * 1 2 of Lemma function-is-continuous


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
5. n : ℕ+
6. f[x] continuous for x ∈ i-approx(I;m)
⊢ ∃d:ℝ [((r0 < d)
       ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))]
BY
{ D -1 With ⌜m⌝  }

1
.....wf..... 
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
5. n : ℕ+
⊢ m ∈ {m@0:ℕ+| icompact(i-approx(i-approx(I;m);m@0))} 

2
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
5. n : ℕ+
6. ∀n:ℕ+
     (∃d:ℝ [((r0 < d)
           ∧ (∀x,y:ℝ.
                ((x ∈ i-approx(i-approx(I;m);m))
                ⇒ (y ∈ i-approx(i-approx(I;m);m))
                ⇒ (|x - y| ≤ d)
                ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))])
⊢ ∃d:ℝ [((r0 < d)
       ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  f[y]))
4.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))\} 
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  i-approx(I;m)
\mvdash{}  \mexists{}d:\mBbbR{}  [((r0  <  d)
              \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                        ((x  \mmember{}  i-approx(I;m))
                        {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;m))
                        {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                        {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n))))))]


By

---

Latex:
D  -1  With  \mkleeneopen{}m\mkleeneclose{} 

---

Home Index