---

Step * 1 of Lemma functions-equal-on-interior


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. (a, b) ⊆ [a, b] 
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. g : [a, b] ⟶ℝ
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g(x) = g(y)))
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ (a, b)} . (f(x) = g(x))
9. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
⊢ f(x) = g(x)
BY
{ (InstLemma `functions-equal-on-dense`  [⌜[a, b]⌝;⌜λr.((a < r) ∧ (r < b))⌝;⌜f⌝;⌜g⌝;⌜x⌝]⋅ THEN Auto) }

1
.....antecedent..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. (a, b) ⊆ [a, b] 
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. g : [a, b] ⟶ℝ
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g(x) = g(y)))
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ (a, b)} . (f(x) = g(x))
9. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
⊢ ∃u,v:{a@0:ℝ| a@0 ∈ [a, b]} . u ≠ v

2
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. (a, b) ⊆ [a, b] 
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. g : [a, b] ⟶ℝ
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g(x) = g(y)))
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ (a, b)} . (f(x) = g(x))
9. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
10. x1 : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
11. (λr.((a < r) ∧ (r < b))) x1
⊢ f(x1) = g(x1)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  <  b\} 
3.  (a,  b)  \msubseteq{}  [a,  b] 
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  g  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
6.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f(x)  =  f(y)))
7.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g(x)  =  g(y)))
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (a,  b)\}  .  (f(x)  =  g(x))
9.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\} 
\mvdash{}  f(x)  =  g(x)


By

---

Latex:
(InstLemma  `functions-equal-on-dense`    [\mkleeneopen{}[a,  b]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}r.((a  <  r)  \mwedge{}  (r  <  b))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}g\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index