---

Step * 2 1 1 of Lemma homeo-image-boundary


1. X : Type
2. Y : Type
3. dX : metric(X)
4. dY : metric(Y)
5. f : FUN(X ⟶ Y)
6. h1 : FUN(Y ⟶ X)
7. ∀x:X. h1 (f x) ≡ x
8. ∀y:Y. f (h1 y) ≡ y
9. PtwiseCONT(fst(<f, h1>):X ⟶ Y)
10. PtwiseCONT(snd(<f, h1>):Y ⟶ X)
11. A : Type
12. metric-subspace(X;dX;A)
13. A ⊆r X
14. respects-equality(X;A)
15. ∀a:A. ∀x:X.  (x ≡ a ⇒ (x ∈ A))
16. <f, h1> ∈ homeomorphic(X;dX;Y;dY)
17. a : A
18. m-interior-point(X;dX;A;a)
⊢ m-interior-point(Y;dY;homeo-image(A;Y;dY;<f, h1>);f a)
BY
{ (ParallelLast
   THEN ExRepD
   THEN (D 10 With ⌜f a⌝  THENA Auto)
   THEN (D -1 With ⌜M⌝  THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN (InstLemma `small-reciprocal-real` [⌜delta⌝] ⋅ THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN All Reduce) }

1
1. X : Type
2. Y : Type
3. dX : metric(X)
4. dY : metric(Y)
5. f : FUN(X ⟶ Y)
6. h1 : FUN(Y ⟶ X)
7. ∀x:X. h1 (f x) ≡ x
8. ∀y:Y. f (h1 y) ≡ y
9. PtwiseCONT(f:X ⟶ Y)
10. A : Type
11. metric-subspace(X;dX;A)
12. A ⊆r X
13. respects-equality(X;A)
14. ∀a:A. ∀x:X.  (x ≡ a ⇒ (x ∈ A))
15. <f, h1> ∈ homeomorphic(X;dX;Y;dY)
16. a : A
17. M : ℕ+
18. ∀x:X. ((mdist(dX;x;a) ≤ (r1/r(M))) ⇒ (x ∈ A))
19. delta : {d:ℝ| r0 < d} 
20. ∀y:Y. ((mdist(dY;f a;y) ≤ delta) ⇒ (mdist(dX;h1 (f a);h1 y) ≤ (r1/r(M))))
21. k : ℕ+
22. (r1/r(k)) < delta
⊢ ∃M:ℕ+. ∀x:Y. ((mdist(dY;x;f a) ≤ (r1/r(M))) ⇒ (x ∈ homeo-image(A;Y;dY;<f, h1>)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  Y  :  Type
3.  dX  :  metric(X)
4.  dY  :  metric(Y)
5.  f  :  FUN(X  {}\mrightarrow{}  Y)
6.  h1  :  FUN(Y  {}\mrightarrow{}  X)
7.  \mforall{}x:X.  h1  (f  x)  \mequiv{}  x
8.  \mforall{}y:Y.  f  (h1  y)  \mequiv{}  y
9.  PtwiseCONT(fst(<f,  h1>):X  {}\mrightarrow{}  Y)
10.  PtwiseCONT(snd(<f,  h1>):Y  {}\mrightarrow{}  X)
11.  A  :  Type
12.  metric-subspace(X;dX;A)
13.  A  \msubseteq{}r  X
14.  respects-equality(X;A)
15.  \mforall{}a:A.  \mforall{}x:X.    (x  \mequiv{}  a  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  A))
16.  <f,  h1>  \mmember{}  homeomorphic(X;dX;Y;dY)
17.  a  :  A
18.  m-interior-point(X;dX;A;a)
\mvdash{}  m-interior-point(Y;dY;homeo-image(A;Y;dY;<f,  h1>);f  a)


By

---

Latex:
(ParallelLast
  THEN  ExRepD
  THEN  (D  10  With  \mkleeneopen{}f  a\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}M\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  (InstLemma  `small-reciprocal-real`  [\mkleeneopen{}delta\mkleeneclose{}]  \mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  All  Reduce)

---

Home Index