---

Step * 2 1 1 of Lemma int-rdiv-int-rmul


1. k : ℤ-o
2. ¬k < 0
3. a : ℕ+ ⟶ ℤ
4. n : ℕ+
5. 0 < k
6. 2 ≤ k
7. (n * 2) ≤ (n * k)
8. |(n * (a (k * n))) - (k * n) * (a n)| ≤ ((2 * 1) * ((k * n) + n))
9. r : {r:ℤ| |r| < |k|} 
10. (a (k * n) rem k) = r ∈ {r:ℤ| |r| < |k|} 
⊢ |n * ((a (k * n)) - r - k * (a n))| ≤ (|n| * |k| * 4)
BY
{ ((Subst' n * ((a (k * n)) - r - k * (a n)) ~ ((n * (a (k * n))) - (k * n) * (a n)) + (n * (-r)) 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "int-triangle-inequality" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "8" 0 THENA Auto)
   THEN (RWW  "absval_mul absval-minus" 0 THENA Auto)
   THEN DSetVars
   THEN (Unhide THENA Auto)
   THEN (Mul ⌜|n|⌝ (-2)⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)) }

1
1. k : ℤ-o
2. ¬k < 0
3. a : ℕ+ ⟶ ℤ
4. n : ℕ+
5. 0 < k
6. 2 ≤ k
7. (n * 2) ≤ (n * k)
8. |(n * (a (k * n))) - (k * n) * (a n)| ≤ ((2 * 1) * ((k * n) + n))
9. r : ℤ
10. |r| < |k|
11. (a (k * n) rem k) = r ∈ {r:ℤ| |r| < |k|} 
12. |n| * |r| < |n| * |k|
⊢ (((2 * 1) * ((k * n) + n)) + (|n| * |k|)) ≤ (|n| * |k| * 4)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbZ{}\msupminus{}\msupzero{}
2.  \mneg{}k  <  0
3.  a  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
4.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  0  <  k
6.  2  \mleq{}  k
7.  (n  *  2)  \mleq{}  (n  *  k)
8.  |(n  *  (a  (k  *  n)))  -  (k  *  n)  *  (a  n)|  \mleq{}  ((2  *  1)  *  ((k  *  n)  +  n))
9.  r  :  \{r:\mBbbZ{}|  |r|  <  |k|\} 
10.  (a  (k  *  n)  rem  k)  =  r
\mvdash{}  |n  *  ((a  (k  *  n))  -  r  -  k  *  (a  n))|  \mleq{}  (|n|  *  |k|  *  4)


By

---

Latex:
((Subst'  n  *  ((a  (k  *  n))  -  r  -  k  *  (a  n))  \msim{}  ((n  *  (a  (k  *  n)))  -  (k  *  n)  *  (a  n))  +  (n  *  (-r))  0
    THENA  Auto
    )
  THEN  (RWO  "int-triangle-inequality"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "8"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWW    "absval\_mul  absval-minus"  0  THENA  Auto)
  THEN  DSetVars
  THEN  (Unhide  THENA  Auto)
  THEN  (Mul  \mkleeneopen{}|n|\mkleeneclose{}  (-2)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto))

---

Home Index