---

Step * 1 of Lemma m-TB-sup-and-inf

.....assertion..... 
1. [X] : Type
2. dX : metric(X)
3. m-TB(X;dX)
4. f : X ⟶ ℝ
5. UC(f:X ⟶ ℝ)
6. m-TB(f[X];image-metric(rmetric()))
7. λr.∃x:X. (r = (f x)) ∈ Set(ℝ)
⊢ totally-bounded(λr.∃x:X. (r = (f x)))
BY
{ ((D 0 THEN Auto)
   THEN (InstLemma `small-reciprocal-real` [⌜e⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN (RWO "m-TB-iff" (-6) THENA Auto)
   THEN (D -6 With ⌜k - 1⌝  THENA Auto)
   THEN (Subst' (k - 1) + 1 ~ k -1 THENA Auto)
   THEN ParallelLast
   THEN ExRepD) }

1
1. [X] : Type
2. dX : metric(X)
3. m-TB(X;dX)
4. f : X ⟶ ℝ
5. UC(f:X ⟶ ℝ)
6. λr.∃x:X. (r = (f x)) ∈ Set(ℝ)
7. e : ℝ
8. r0 < e
9. k : ℕ+
10. (r1/r(k)) < e
11. n : ℕ+
12. xs : ℕn ⟶ f[X]
13. ∀x:f[X]. ∃i:ℕn. (mdist(image-metric(rmetric());x;xs i) ≤ (r1/r(k)))
⊢ ∃a:ℕn ⟶ ℝ. ((∀i:ℕn. (a i ∈ λr.∃x:X. (r = (f x)))) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ λr.∃x:X. (r = (f x))) ⇒ (∃i:ℕn. (|x - a i| < e)))))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  [X]  :  Type
2.  dX  :  metric(X)
3.  m-TB(X;dX)
4.  f  :  X  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  UC(f:X  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{})
6.  m-TB(f[X];image-metric(rmetric()))
7.  \mlambda{}r.\mexists{}x:X.  (r  =  (f  x))  \mmember{}  Set(\mBbbR{})
\mvdash{}  totally-bounded(\mlambda{}r.\mexists{}x:X.  (r  =  (f  x)))


By

---

Latex:
((D  0  THEN  Auto)
  THEN  (InstLemma  `small-reciprocal-real`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  (RWO  "m-TB-iff"  (-6)  THENA  Auto)
  THEN  (D  -6  With  \mkleeneopen{}k  -  1\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  (Subst'  (k  -  1)  +  1  \msim{}  k  -1  THENA  Auto)
  THEN  ParallelLast
  THEN  ExRepD)

---

Home Index