---

Step * 1 1 of Lemma m-TB-sup-and-inf


1. [X] : Type
2. dX : metric(X)
3. m-TB(X;dX)
4. f : X ⟶ ℝ
5. UC(f:X ⟶ ℝ)
6. λr.∃x:X. (r = (f x)) ∈ Set(ℝ)
7. e : ℝ
8. r0 < e
9. k : ℕ+
10. (r1/r(k)) < e
11. n : ℕ+
12. xs : ℕn ⟶ f[X]
13. ∀x:f[X]. ∃i:ℕn. (mdist(image-metric(rmetric());x;xs i) ≤ (r1/r(k)))
⊢ ∃a:ℕn ⟶ ℝ. ((∀i:ℕn. (a i ∈ λr.∃x:X. (r = (f x)))) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ λr.∃x:X. (r = (f x))) ⇒ (∃i:ℕn. (|x - a i| < e)))))
BY
{ (RepUR ``mdist rmetric image-metric`` -1 THEN (D 0 With ⌜λi.(fst((xs i)))⌝  THENA Auto) THEN Reduce 0 THEN D 0) }

1
1. [X] : Type
2. dX : metric(X)
3. m-TB(X;dX)
4. f : X ⟶ ℝ
5. UC(f:X ⟶ ℝ)
6. λr.∃x:X. (r = (f x)) ∈ Set(ℝ)
7. e : ℝ
8. r0 < e
9. k : ℕ+
10. (r1/r(k)) < e
11. n : ℕ+
12. xs : ℕn ⟶ f[X]
13. ∀x:f[X]. ∃i:ℕn. (|(fst(x)) - fst((xs i))| ≤ (r1/r(k)))
⊢ ∀i:ℕn. (fst((xs i)) ∈ λr.∃x:X. (r = (f x)))

2
1. [X] : Type
2. dX : metric(X)
3. m-TB(X;dX)
4. f : X ⟶ ℝ
5. UC(f:X ⟶ ℝ)
6. λr.∃x:X. (r = (f x)) ∈ Set(ℝ)
7. e : ℝ
8. r0 < e
9. k : ℕ+
10. (r1/r(k)) < e
11. n : ℕ+
12. xs : ℕn ⟶ f[X]
13. ∀x:f[X]. ∃i:ℕn. (|(fst(x)) - fst((xs i))| ≤ (r1/r(k)))
⊢ ∀x:ℝ. ((x ∈ λr.∃x:X. (r = (f x))) ⇒ (∃i:ℕn. (|x - fst((xs i))| < e)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [X]  :  Type
2.  dX  :  metric(X)
3.  m-TB(X;dX)
4.  f  :  X  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  UC(f:X  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{})
6.  \mlambda{}r.\mexists{}x:X.  (r  =  (f  x))  \mmember{}  Set(\mBbbR{})
7.  e  :  \mBbbR{}
8.  r0  <  e
9.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  (r1/r(k))  <  e
11.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  xs  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  f[X]
13.  \mforall{}x:f[X].  \mexists{}i:\mBbbN{}n.  (mdist(image-metric(rmetric());x;xs  i)  \mleq{}  (r1/r(k)))
\mvdash{}  \mexists{}a:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
      ((\mforall{}i:\mBbbN{}n.  (a  i  \mmember{}  \mlambda{}r.\mexists{}x:X.  (r  =  (f  x))))
      \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  \mlambda{}r.\mexists{}x:X.  (r  =  (f  x)))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}n.  (|x  -  a  i|  <  e)))))


By

---

Latex:
(RepUR  ``mdist  rmetric  image-metric``  -1
  THEN  (D  0  With  \mkleeneopen{}\mlambda{}i.(fst((xs  i)))\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  D  0)

---

Home Index