---

Step * 2 1 1 1 1 1 of Lemma m-closed-iff-complete

.....assertion..... 
1. [X] : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. [A] : Type
5. metric-subspace(X;d;A)
6. d ∈ metric(A)
7. x : X
8. ∀k:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) ≤ (r1/r(k)))
9. ∀a:A. (mdist(d;x;a) ∈ ℝ)
10. c : k:ℕ+ ⟶ A
11. ∀k:ℕ+. (mdist(d;x;c k) ≤ (r1/r(k)))
12. mcauchy(d;n.(λn.(c (n + 1))) n) ⇒ (λn.(c (n + 1))) n↓ as n→∞
⊢ mcauchy(d;n.(λn.(c (n + 1))) n)
BY
{ ((D 0 THENA Auto) THEN Reduce 0) }

1
1. [X] : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. [A] : Type
5. metric-subspace(X;d;A)
6. d ∈ metric(A)
7. x : X
8. ∀k:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) ≤ (r1/r(k)))
9. ∀a:A. (mdist(d;x;a) ∈ ℝ)
10. c : k:ℕ+ ⟶ A
11. ∀k:ℕ+. (mdist(d;x;c k) ≤ (r1/r(k)))
12. mcauchy(d;n.(λn.(c (n + 1))) n) ⇒ (λn.(c (n + 1))) n↓ as n→∞
13. k : ℕ+
⊢ ∃N:ℕ [(∀n,m:ℕ.  ((N ≤ n) ⇒ (N ≤ m) ⇒ (mdist(d;c (n + 1);c (m + 1)) ≤ (r1/r(k)))))]

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  [X]  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  mcomplete(X  with  d)
4.  [A]  :  Type
5.  metric-subspace(X;d;A)
6.  d  \mmember{}  metric(A)
7.  x  :  X
8.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}a:A.  (mdist(d;x;a)  \mleq{}  (r1/r(k)))
9.  \mforall{}a:A.  (mdist(d;x;a)  \mmember{}  \mBbbR{})
10.  c  :  k:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  A
11.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (mdist(d;x;c  k)  \mleq{}  (r1/r(k)))
12.  mcauchy(d;n.(\mlambda{}n.(c  (n  +  1)))  n)  {}\mRightarrow{}  (\mlambda{}n.(c  (n  +  1)))  n\mdownarrow{}  as  n\mrightarrow{}\minfty{}
\mvdash{}  mcauchy(d;n.(\mlambda{}n.(c  (n  +  1)))  n)


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)  THEN  Reduce  0)

---

Home Index