---

Step * 2 1 1 1 1 1 1 of Lemma m-closed-iff-complete


1. [X] : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. [A] : Type
5. metric-subspace(X;d;A)
6. d ∈ metric(A)
7. x : X
8. ∀k:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) ≤ (r1/r(k)))
9. ∀a:A. (mdist(d;x;a) ∈ ℝ)
10. c : k:ℕ+ ⟶ A
11. ∀k:ℕ+. (mdist(d;x;c k) ≤ (r1/r(k)))
12. mcauchy(d;n.(λn.(c (n + 1))) n) ⇒ (λn.(c (n + 1))) n↓ as n→∞
13. k : ℕ+
⊢ ∃N:ℕ [(∀n,m:ℕ.  ((N ≤ n) ⇒ (N ≤ m) ⇒ (mdist(d;c (n + 1);c (m + 1)) ≤ (r1/r(k)))))]
BY
{ ((Assert c ∈ k:ℕ+ ⟶ X BY Auto) THEN D 0 With ⌜2 * k⌝  THEN Auto) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. A : Type
5. metric-subspace(X;d;A)
6. d ∈ metric(A)
7. x : X
8. ∀k:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) ≤ (r1/r(k)))
9. ∀a:A. (mdist(d;x;a) ∈ ℝ)
10. c : k:ℕ+ ⟶ A
11. ∀k:ℕ+. (mdist(d;x;c k) ≤ (r1/r(k)))
12. mcauchy(d;n.(λn.(c (n + 1))) n) ⇒ (λn.(c (n + 1))) n↓ as n→∞
13. k : ℕ+
14. c ∈ k:ℕ+ ⟶ X
15. n : ℕ
16. m : ℕ
17. (2 * k) ≤ n
18. (2 * k) ≤ m
⊢ mdist(d;c (n + 1);c (m + 1)) ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [X]  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  mcomplete(X  with  d)
4.  [A]  :  Type
5.  metric-subspace(X;d;A)
6.  d  \mmember{}  metric(A)
7.  x  :  X
8.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}a:A.  (mdist(d;x;a)  \mleq{}  (r1/r(k)))
9.  \mforall{}a:A.  (mdist(d;x;a)  \mmember{}  \mBbbR{})
10.  c  :  k:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  A
11.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (mdist(d;x;c  k)  \mleq{}  (r1/r(k)))
12.  mcauchy(d;n.(\mlambda{}n.(c  (n  +  1)))  n)  {}\mRightarrow{}  (\mlambda{}n.(c  (n  +  1)))  n\mdownarrow{}  as  n\mrightarrow{}\minfty{}
13.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n,m:\mBbbN{}.    ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (N  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  (mdist(d;c  (n  +  1);c  (m  +  1))  \mleq{}  (r1/r(k)))))]


By

---

Latex:
((Assert  c  \mmember{}  k:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  X  BY  Auto)  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}2  *  k\mkleeneclose{}    THEN  Auto)

---

Home Index