---

Step * 2 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma m-closed-iff-complete


1. X : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. A : Type
5. metric-subspace(X;d;A)
6. d ∈ metric(A)
7. x : X
8. ∀k:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) ≤ (r1/r(k)))
9. ∀a:A. (mdist(d;x;a) ∈ ℝ)
10. c : k:ℕ+ ⟶ A
11. ∀k:ℕ+. (mdist(d;x;c k) ≤ (r1/r(k)))
12. mcauchy(d;n.(λn.(c (n + 1))) n) ⇒ (λn.(c (n + 1))) n↓ as n→∞
13. k : ℕ+
14. c ∈ k:ℕ+ ⟶ X
15. n : ℕ
16. m : ℕ
17. (2 * k) ≤ n
18. (2 * k) ≤ m
⊢ mdist(d;c (n + 1);c (m + 1)) ≤ (r1/r(k))
BY
{ (InstLemma `mdist-triangle-inequality` [⌜X⌝;⌜d⌝;⌜c (n + 1)⌝;⌜x⌝;⌜c (m + 1)⌝]⋅ THENA Auto) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. A : Type
5. metric-subspace(X;d;A)
6. d ∈ metric(A)
7. x : X
8. ∀k:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) ≤ (r1/r(k)))
9. ∀a:A. (mdist(d;x;a) ∈ ℝ)
10. c : k:ℕ+ ⟶ A
11. ∀k:ℕ+. (mdist(d;x;c k) ≤ (r1/r(k)))
12. mcauchy(d;n.(λn.(c (n + 1))) n) ⇒ (λn.(c (n + 1))) n↓ as n→∞
13. k : ℕ+
14. c ∈ k:ℕ+ ⟶ X
15. n : ℕ
16. m : ℕ
17. (2 * k) ≤ n
18. (2 * k) ≤ m
19. mdist(d;c (n + 1);c (m + 1)) ≤ (mdist(d;c (n + 1);x) + mdist(d;x;c (m + 1)))
⊢ mdist(d;c (n + 1);c (m + 1)) ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  mcomplete(X  with  d)
4.  A  :  Type
5.  metric-subspace(X;d;A)
6.  d  \mmember{}  metric(A)
7.  x  :  X
8.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}a:A.  (mdist(d;x;a)  \mleq{}  (r1/r(k)))
9.  \mforall{}a:A.  (mdist(d;x;a)  \mmember{}  \mBbbR{})
10.  c  :  k:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  A
11.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (mdist(d;x;c  k)  \mleq{}  (r1/r(k)))
12.  mcauchy(d;n.(\mlambda{}n.(c  (n  +  1)))  n)  {}\mRightarrow{}  (\mlambda{}n.(c  (n  +  1)))  n\mdownarrow{}  as  n\mrightarrow{}\minfty{}
13.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
14.  c  \mmember{}  k:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  X
15.  n  :  \mBbbN{}
16.  m  :  \mBbbN{}
17.  (2  *  k)  \mleq{}  n
18.  (2  *  k)  \mleq{}  m
\mvdash{}  mdist(d;c  (n  +  1);c  (m  +  1))  \mleq{}  (r1/r(k))


By

---

Latex:
(InstLemma  `mdist-triangle-inequality`  [\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c  (n  +  1)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c  (m  +  1)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index