---

Step * 2 1 1 1 1 2 1 of Lemma m-closed-iff-complete


1. [X] : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. [A] : Type
5. strong-subtype(A;X)
6. d ∈ metric(A)
7. x : X
8. ∀k:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) ≤ (r1/r(k)))
9. ∀a:A. (mdist(d;x;a) ∈ ℝ)
10. c : k:ℕ+ ⟶ A
11. ∀k:ℕ+. (mdist(d;x;c k) ≤ (r1/r(k)))
12. mcauchy(d;n.(λn.(c (n + 1))) n)
13. y : A
14. lim n→∞.(λn.(c (n + 1))) n = y
15. ∀x:X. (x ≡ y ⇒ (x ∈ A))
⊢ x ≡ y
BY
{ ((InstLemma `m-unique-limit` [⌜X⌝;⌜d⌝;⌜λn.(c (n + 1))⌝;⌜x⌝;⌜y⌝]⋅ THEN Auto) THEN RepUR ``so_apply`` 0) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. A : Type
5. strong-subtype(A;X)
6. d ∈ metric(A)
7. x : X
8. ∀k:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) ≤ (r1/r(k)))
9. ∀a:A. (mdist(d;x;a) ∈ ℝ)
10. c : k:ℕ+ ⟶ A
11. ∀k:ℕ+. (mdist(d;x;c k) ≤ (r1/r(k)))
12. mcauchy(d;n.(λn.(c (n + 1))) n)
13. y : A
14. lim n→∞.(λn.(c (n + 1))) n = y
15. ∀x:X. (x ≡ y ⇒ (x ∈ A))
⊢ lim n→∞.c (n + 1) = x

---

Latex:

---

Latex:

1.  [X]  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  mcomplete(X  with  d)
4.  [A]  :  Type
5.  strong-subtype(A;X)
6.  d  \mmember{}  metric(A)
7.  x  :  X
8.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}a:A.  (mdist(d;x;a)  \mleq{}  (r1/r(k)))
9.  \mforall{}a:A.  (mdist(d;x;a)  \mmember{}  \mBbbR{})
10.  c  :  k:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  A
11.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (mdist(d;x;c  k)  \mleq{}  (r1/r(k)))
12.  mcauchy(d;n.(\mlambda{}n.(c  (n  +  1)))  n)
13.  y  :  A
14.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.(\mlambda{}n.(c  (n  +  1)))  n  =  y
15.  \mforall{}x:X.  (x  \mequiv{}  y  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  A))
\mvdash{}  x  \mequiv{}  y


By

---

Latex:
((InstLemma  `m-unique-limit`  [\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}n.(c  (n  +  1))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
  THEN  RepUR  ``so\_apply``  0
  )

---

Home Index