---

Step * 2 1 1 1 1 2 1 1 of Lemma m-closed-iff-complete


1. X : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. A : Type
5. strong-subtype(A;X)
6. d ∈ metric(A)
7. x : X
8. ∀k:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) ≤ (r1/r(k)))
9. ∀a:A. (mdist(d;x;a) ∈ ℝ)
10. c : k:ℕ+ ⟶ A
11. ∀k:ℕ+. (mdist(d;x;c k) ≤ (r1/r(k)))
12. mcauchy(d;n.(λn.(c (n + 1))) n)
13. y : A
14. lim n→∞.(λn.(c (n + 1))) n = y
15. ∀x:X. (x ≡ y ⇒ (x ∈ A))
⊢ lim n→∞.c (n + 1) = x
BY
{ (D 0 THENA Auto) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. A : Type
5. strong-subtype(A;X)
6. d ∈ metric(A)
7. x : X
8. ∀k:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) ≤ (r1/r(k)))
9. ∀a:A. (mdist(d;x;a) ∈ ℝ)
10. c : k:ℕ+ ⟶ A
11. ∀k:ℕ+. (mdist(d;x;c k) ≤ (r1/r(k)))
12. mcauchy(d;n.(λn.(c (n + 1))) n)
13. y : A
14. lim n→∞.(λn.(c (n + 1))) n = y
15. ∀x:X. (x ≡ y ⇒ (x ∈ A))
16. k : ℕ+
⊢ ∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (mdist(d;c (n + 1);x) ≤ (r1/r(k)))))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  mcomplete(X  with  d)
4.  A  :  Type
5.  strong-subtype(A;X)
6.  d  \mmember{}  metric(A)
7.  x  :  X
8.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}a:A.  (mdist(d;x;a)  \mleq{}  (r1/r(k)))
9.  \mforall{}a:A.  (mdist(d;x;a)  \mmember{}  \mBbbR{})
10.  c  :  k:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  A
11.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (mdist(d;x;c  k)  \mleq{}  (r1/r(k)))
12.  mcauchy(d;n.(\mlambda{}n.(c  (n  +  1)))  n)
13.  y  :  A
14.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.(\mlambda{}n.(c  (n  +  1)))  n  =  y
15.  \mforall{}x:X.  (x  \mequiv{}  y  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  A))
\mvdash{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.c  (n  +  1)  =  x


By

---

Latex:
(D  0  THENA  Auto)

---

Home Index