---

Step * 1 2 2 2 1 1 of Lemma near-root-rational


1. b : ℕ+
2. k : {2...}
3. s : 𝔹
4. p : ℤ
5. c : ℕ+
6. n : ℕ+
7. q : ℕ+
8. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
9. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
10. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
11. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
12. a : ℤ
13. a = if s then p * 2 * b^(k - 1) else p * n * b^(k - 1) fi  ∈ ℤ
14. d : ℕ+
15. d = (if s then 2 * b^(k - 1) else b^(k - 1) fi  - 1) ∈ ℕ+
16. x : ℕ
17. y : ℕ+
18. |if s then p * 2 * b^(k - 1) else p * n * b^(k - 1) fi | * y^k < (x * b)^k
19. (x * b)^k ≤ ((|if s then p * 2 * b^(k - 1) else p * n * b^(k - 1) fi | + d) * y^k)
20. (0 ≤ p) ⇒ (0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi )
21. (0 ≤ p) ⇐ 0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi 
22. |if s then p * 2 * b^(k - 1) else p * n * b^(k - 1) fi |
= if p <z 0 then -if s then p * 2 * b^(k - 1) else p * n * b^(k - 1) fi 
  if s then p * 2 * b^(k - 1)
  else p * n * b^(k - 1)
  fi 
∈ ℤ
23. ↑s
24. v : ℕ+
25. b^(k - 1) = v ∈ ℕ+
⊢ (p * b * v) = ((p * 2 * v) * q) ∈ ℤ
BY
{ (Eliminate ⌜s⌝⋅
   THEN RW assert_pushdownC (-3)
   THEN Auto
   THEN Eliminate ⌜q⌝⋅
   THEN Eliminate ⌜n⌝⋅
   THEN All Reduce
   THEN Eliminate ⌜b⌝⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  k  :  \{2...\}
3.  s  :  \mBbbB{}
4.  p  :  \mBbbZ{}
5.  c  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  q  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  (0  \mleq{}  p)  \mvee{}  (\muparrow{}isOdd(k))
9.  s  =  (q  =\msubz{}  1)  \mwedge{}\msubb{}  (n  =\msubz{}  1)
10.  b  =  if  s  then  2  else  q  *  n  fi 
11.  c  =  b\^{}(k  -  1)
12.  a  :  \mBbbZ{}
13.  a  =  if  s  then  p  *  2  *  b\^{}(k  -  1)  else  p  *  n  *  b\^{}(k  -  1)  fi 
14.  d  :  \mBbbN{}\msupplus{}
15.  d  =  (if  s  then  2  *  b\^{}(k  -  1)  else  b\^{}(k  -  1)  fi    -  1)
16.  x  :  \mBbbN{}
17.  y  :  \mBbbN{}\msupplus{}
18.  |if  s  then  p  *  2  *  b\^{}(k  -  1)  else  p  *  n  *  b\^{}(k  -  1)  fi  |  *  y\^{}k  <  (x  *  b)\^{}k
19.  (x  *  b)\^{}k  \mleq{}  ((|if  s  then  p  *  2  *  b\^{}(k  -  1)  else  p  *  n  *  b\^{}(k  -  1)  fi  |  +  d)  *  y\^{}k)
20.  (0  \mleq{}  p)  {}\mRightarrow{}  (0  \mleq{}  if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi  )
21.  (0  \mleq{}  p)  \mLeftarrow{}{}  0  \mleq{}  if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi 
22.  |if  s  then  p  *  2  *  b\^{}(k  -  1)  else  p  *  n  *  b\^{}(k  -  1)  fi  |
=  if  p  <z  0  then  -if  s  then  p  *  2  *  b\^{}(k  -  1)  else  p  *  n  *  b\^{}(k  -  1)  fi 
    if  s  then  p  *  2  *  b\^{}(k  -  1)
    else  p  *  n  *  b\^{}(k  -  1)
    fi 
23.  \muparrow{}s
24.  v  :  \mBbbN{}\msupplus{}
25.  b\^{}(k  -  1)  =  v
\mvdash{}  (p  *  b  *  v)  =  ((p  *  2  *  v)  *  q)


By

---

Latex:
(Eliminate  \mkleeneopen{}s\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  RW  assert\_pushdownC  (-3)
  THEN  Auto
  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}q\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  All  Reduce
  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index