---

Step * 1 2 2 2 1 of Lemma near-root-rational

.....assertion..... 
1. k : {2...}
2. p : ℤ
3. q : ℕ+
4. n : ℕ+
5. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
6. s : 𝔹
7. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
8. b : ℕ+
9. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
10. c : ℕ+
11. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
12. a : ℤ
13. a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ
14. d : ℕ+
15. d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+
16. x : ℕ
17. y : ℕ+
18. |a| * y^k < (x * b)^k
19. (x * b)^k ≤ ((|a| + d) * y^k)
20. (0 ≤ p) ⇒ (0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi )
21. (0 ≤ p) ⇐ 0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi 
22. |a| = if p <z 0 then -a else a fi  ∈ ℤ
⊢ (r(p)/r(q)) = (r(a)/r(b^k))
BY
{ (BLemma `req-int-fractions`
   THEN Auto
   THEN Eliminate ⌜a⌝⋅
   THEN Eliminate ⌜c⌝⋅
   THEN AutoSplit
   THEN ((RW (AddrC [2;2] (LemmaC `exp_step`)) 0 THENA Auto) THEN GenConclAtAddr [2;2;2])⋅) }

1
1. b : ℕ+
2. k : {2...}
3. s : 𝔹
4. p : ℤ
5. c : ℕ+
6. n : ℕ+
7. q : ℕ+
8. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
9. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
10. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
11. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
12. a : ℤ
13. a = if s then p * 2 * b^(k - 1) else p * n * b^(k - 1) fi  ∈ ℤ
14. d : ℕ+
15. d = (if s then 2 * b^(k - 1) else b^(k - 1) fi  - 1) ∈ ℕ+
16. x : ℕ
17. y : ℕ+
18. |if s then p * 2 * b^(k - 1) else p * n * b^(k - 1) fi | * y^k < (x * b)^k
19. (x * b)^k ≤ ((|if s then p * 2 * b^(k - 1) else p * n * b^(k - 1) fi | + d) * y^k)
20. (0 ≤ p) ⇒ (0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi )
21. (0 ≤ p) ⇐ 0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi 
22. |if s then p * 2 * b^(k - 1) else p * n * b^(k - 1) fi |
= if p <z 0 then -if s then p * 2 * b^(k - 1) else p * n * b^(k - 1) fi 
  if s then p * 2 * b^(k - 1)
  else p * n * b^(k - 1)
  fi 
∈ ℤ
23. ↑s
24. v : ℕ+
25. b^(k - 1) = v ∈ ℕ+
⊢ (p * b * v) = ((p * 2 * v) * q) ∈ ℤ

2
1. b : ℕ+
2. k : {2...}
3. s : 𝔹
4. ¬↑s
5. p : ℤ
6. c : ℕ+
7. n : ℕ+
8. q : ℕ+
9. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
10. ff = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
11. b = (q * n) ∈ ℕ+
12. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
13. a : ℤ
14. a = (p * n * b^(k - 1)) ∈ ℤ
15. d : ℕ+
16. d = (b^(k - 1) - 1) ∈ ℕ+
17. x : ℕ
18. y : ℕ+
19. |p * n * b^(k - 1)| * y^k < (x * b)^k
20. (x * b)^k ≤ ((|p * n * b^(k - 1)| + d) * y^k)
21. (0 ≤ p) ⇒ (0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi )
22. (0 ≤ p) ⇐ 0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi 
23. |p * n * b^(k - 1)| = if p <z 0 then -(p * n * b^(k - 1)) else p * n * b^(k - 1) fi  ∈ ℤ
24. v : ℕ+
25. b^(k - 1) = v ∈ ℕ+
⊢ (p * b * v) = ((p * n * v) * q) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  k  :  \{2...\}
2.  p  :  \mBbbZ{}
3.  q  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (0  \mleq{}  p)  \mvee{}  (\muparrow{}isOdd(k))
6.  s  :  \mBbbB{}
7.  s  =  (q  =\msubz{}  1)  \mwedge{}\msubb{}  (n  =\msubz{}  1)
8.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  b  =  if  s  then  2  else  q  *  n  fi 
10.  c  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  c  =  b\^{}(k  -  1)
12.  a  :  \mBbbZ{}
13.  a  =  if  s  then  p  *  2  *  c  else  p  *  n  *  c  fi 
14.  d  :  \mBbbN{}\msupplus{}
15.  d  =  (if  s  then  2  *  c  else  c  fi    -  1)
16.  x  :  \mBbbN{}
17.  y  :  \mBbbN{}\msupplus{}
18.  |a|  *  y\^{}k  <  (x  *  b)\^{}k
19.  (x  *  b)\^{}k  \mleq{}  ((|a|  +  d)  *  y\^{}k)
20.  (0  \mleq{}  p)  {}\mRightarrow{}  (0  \mleq{}  if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi  )
21.  (0  \mleq{}  p)  \mLeftarrow{}{}  0  \mleq{}  if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi 
22.  |a|  =  if  p  <z  0  then  -a  else  a  fi 
\mvdash{}  (r(p)/r(q))  =  (r(a)/r(b\^{}k))


By

---

Latex:
(BLemma  `req-int-fractions`
  THEN  Auto
  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  AutoSplit
  THEN  ((RW  (AddrC  [2;2]  (LemmaC  `exp\_step`))  0  THENA  Auto)  THEN  GenConclAtAddr  [2;2;2])\mcdot{})

---

Home Index