---

Step * 1 2 2 2 2 1 1 of Lemma near-root-rational


1. k : {2...}
2. p : ℤ
3. q : ℕ+
4. n : ℕ+
5. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
6. s : 𝔹
7. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
8. b : ℕ+
9. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
10. c : ℕ+
11. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
12. a : ℤ
13. a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ
14. d : ℕ+
15. d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+
16. x : ℕ
17. y : ℕ+
18. |a| * y^k < (x * b)^k
19. (x * b)^k ≤ ((|a| + d) * y^k)
20. (0 ≤ p) ⇒ (0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi )
21. (0 ≤ p) ⇐ 0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi 
22. |a| = if p <z 0 then -a else a fi  ∈ ℤ
⊢ d * n < 1 * b^k
BY
{ ((RWO "exp_step" 0 THENA Auto)⋅ THEN Eliminate ⌜d⌝⋅ THEN Eliminate ⌜c⌝⋅ THEN Eliminate ⌜b⌝⋅ THEN AutoSplit) }

1
1. s : 𝔹
2. q : ℕ+
3. n : ℕ+
4. b : ℕ+
5. k : {2...}
6. c : ℕ+
7. p : ℤ
8. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
9. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
10. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
11. c = if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) ∈ ℕ+
12. a : ℤ
13. a = if s then p * 2 * if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) else p * n * if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) fi  ∈ ℤ
14. d : ℕ+
15. d = (if s then 2 * if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) else if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) fi  - 1) ∈ ℕ+
16. x : ℕ
17. y : ℕ+
18. |a| * y^k < (x * if s then 2 else q * n fi )^k
19. (x * if s then 2 else q * n fi )^k ≤ ((|a|
    + (if s then 2 * if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) else if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) fi  - 1))
    * y^k)
20. (0 ≤ p) ⇒ (0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi )
21. (0 ≤ p) ⇐ 0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi 
22. |a| = if p <z 0 then -a else a fi  ∈ ℤ
23. ↑s
⊢ ((2 * 2^(k - 1)) - 1) * n < 1 * 2 * 2^(k - 1)

2
1. s : 𝔹
2. ¬↑s
3. q : ℕ+
4. n : ℕ+
5. b : ℕ+
6. k : {2...}
7. c : ℕ+
8. p : ℤ
9. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
10. ff = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
11. b = (q * n) ∈ ℕ+
12. c = (q * n)^(k - 1) ∈ ℕ+
13. a : ℤ
14. a = (p * n * (q * n)^(k - 1)) ∈ ℤ
15. d : ℕ+
16. d = ((q * n)^(k - 1) - 1) ∈ ℕ+
17. x : ℕ
18. y : ℕ+
19. |a| * y^k < (x * q * n)^k
20. (x * q * n)^k ≤ ((|a| + ((q * n)^(k - 1) - 1)) * y^k)
21. (0 ≤ p) ⇒ (0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi )
22. (0 ≤ p) ⇐ 0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi 
23. |a| = if p <z 0 then -a else a fi  ∈ ℤ
⊢ ((q * n)^(k - 1) - 1) * n < 1 * (q * n) * (q * n)^(k - 1)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \{2...\}
2.  p  :  \mBbbZ{}
3.  q  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (0  \mleq{}  p)  \mvee{}  (\muparrow{}isOdd(k))
6.  s  :  \mBbbB{}
7.  s  =  (q  =\msubz{}  1)  \mwedge{}\msubb{}  (n  =\msubz{}  1)
8.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  b  =  if  s  then  2  else  q  *  n  fi 
10.  c  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  c  =  b\^{}(k  -  1)
12.  a  :  \mBbbZ{}
13.  a  =  if  s  then  p  *  2  *  c  else  p  *  n  *  c  fi 
14.  d  :  \mBbbN{}\msupplus{}
15.  d  =  (if  s  then  2  *  c  else  c  fi    -  1)
16.  x  :  \mBbbN{}
17.  y  :  \mBbbN{}\msupplus{}
18.  |a|  *  y\^{}k  <  (x  *  b)\^{}k
19.  (x  *  b)\^{}k  \mleq{}  ((|a|  +  d)  *  y\^{}k)
20.  (0  \mleq{}  p)  {}\mRightarrow{}  (0  \mleq{}  if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi  )
21.  (0  \mleq{}  p)  \mLeftarrow{}{}  0  \mleq{}  if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi 
22.  |a|  =  if  p  <z  0  then  -a  else  a  fi 
\mvdash{}  d  *  n  <  1  *  b\^{}k


By

---

Latex:
((RWO  "exp\_step"  0  THENA  Auto)\mcdot{}
  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}d\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  AutoSplit)

---

Home Index