---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma non-zero-deriv-non-constant


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a < b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. f' : [a, b] ⟶ℝ
6. d(f(x))/dx = λx.f'(x) on [a, b]
7. z : {z:ℝ| z ∈ [a, b]} 
8. f'(z) ≠ r0
9. c : ℝ
10. k : ℕ+
11. (r1/r(k)) < |f'(z)|
12. icompact([a, b])
13. del : ℝ
14. r0 < del
15. ∀y:ℝ. ((y ∈ [a, b]) ⇒ (|y - z| ≤ del) ⇒ (|f(y) - f(z) - f'(z) * (y - z)| ≤ ((r1/r(2 * k)) * |y - z|)))
16. y : ℝ
17. y ∈ [a, b]
18. |y - z| ≤ del
19. |f(y) - f(z) - f'(z) * (y - z)| ≤ ((r1/r(2 * k)) * |y - z|)
⊢ ((r1/r(2 * k)) * |y - z|) ≤ |f(y) - f(z)|
BY
{ (Assert |f'(z) * (y - z)| ≤ (|(f'(z) * (y - z)) - f(y) - f(z)| + |f(y) - f(z) - r0|) BY
         (RWO "r-triangle-inequality2<" 0
          THEN Auto
          THEN (GenConclTerm ⌜f'(z) * (y - z)⌝⋅ THENA Auto)
          THEN nRNorm 0
          THEN Auto)) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a < b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. f' : [a, b] ⟶ℝ
6. d(f(x))/dx = λx.f'(x) on [a, b]
7. z : {z:ℝ| z ∈ [a, b]} 
8. f'(z) ≠ r0
9. c : ℝ
10. k : ℕ+
11. (r1/r(k)) < |f'(z)|
12. icompact([a, b])
13. del : ℝ
14. r0 < del
15. ∀y:ℝ. ((y ∈ [a, b]) ⇒ (|y - z| ≤ del) ⇒ (|f(y) - f(z) - f'(z) * (y - z)| ≤ ((r1/r(2 * k)) * |y - z|)))
16. y : ℝ
17. y ∈ [a, b]
18. |y - z| ≤ del
19. |f(y) - f(z) - f'(z) * (y - z)| ≤ ((r1/r(2 * k)) * |y - z|)
20. |f'(z) * (y - z)| ≤ (|(f'(z) * (y - z)) - f(y) - f(z)| + |f(y) - f(z) - r0|)
⊢ ((r1/r(2 * k)) * |y - z|) ≤ |f(y) - f(z)|

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  <  b
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  f'  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
6.  d(f(x))/dx  =  \mlambda{}x.f'(x)  on  [a,  b]
7.  z  :  \{z:\mBbbR{}|  z  \mmember{}  [a,  b]\} 
8.  f'(z)  \mneq{}  r0
9.  c  :  \mBbbR{}
10.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  (r1/r(k))  <  |f'(z)|
12.  icompact([a,  b])
13.  del  :  \mBbbR{}
14.  r0  <  del
15.  \mforall{}y:\mBbbR{}
            ((y  \mmember{}  [a,  b])
            {}\mRightarrow{}  (|y  -  z|  \mleq{}  del)
            {}\mRightarrow{}  (|f(y)  -  f(z)  -  f'(z)  *  (y  -  z)|  \mleq{}  ((r1/r(2  *  k))  *  |y  -  z|)))
16.  y  :  \mBbbR{}
17.  y  \mmember{}  [a,  b]
18.  |y  -  z|  \mleq{}  del
19.  |f(y)  -  f(z)  -  f'(z)  *  (y  -  z)|  \mleq{}  ((r1/r(2  *  k))  *  |y  -  z|)
\mvdash{}  ((r1/r(2  *  k))  *  |y  -  z|)  \mleq{}  |f(y)  -  f(z)|


By

---

Latex:
(Assert  |f'(z)  *  (y  -  z)|  \mleq{}  (|(f'(z)  *  (y  -  z))  -  f(y)  -  f(z)|  +  |f(y)  -  f(z)  -  r0|)  BY
              (RWO  "r-triangle-inequality2<"  0
                THEN  Auto
                THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}f'(z)  *  (y  -  z)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  nRNorm  0
                THEN  Auto))

---

Home Index