---

Step * of Lemma partition-refinement-sum

∀I:Interval
  (icompact(I)
  ⇒ (∀f:I ⟶ℝ. ∀mc:f[x] continuous for x ∈ I. ∀q:partition(I). ∀n:ℕ+.
        ((partition-mesh(I;q) ≤ (mc 1 n))
        ⇒ frs-increasing(q)
        ⇒ (∀p:partition(I). ∀x:partition-choice(full-partition(I;p)). ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
              (p refines q
              ⇒ (|partition-sum(f;y;full-partition(I;q)) - partition-sum(f;x;full-partition(I;p))| ≤ ((r1/r(n))
                 * |I|)))))))
BY
{ (RepeatFor 4 ((D 0 THENA Auto))
   THEN (Assert ∀m,n:ℕ+.
                  (mc m n ∈ {d:ℝ| 
                             (r0 < d)
                             ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n)))))} ) BY
               ((UnivCD THENA Auto) THEN Unfold `continuous` 4 THEN DoSubsume THEN Auto))
   ) }

1
1. I : Interval@i
2. icompact(I)@i
3. f : I ⟶ℝ@i
4. mc : f[x] continuous for x ∈ I@i
5. ∀m,n:ℕ+.
     (mc m n ∈ {d:ℝ| (r0 < d) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n)))))} )
⊢ ∀q:partition(I). ∀n:ℕ+.
    ((partition-mesh(I;q) ≤ (mc 1 n))
    ⇒ frs-increasing(q)
    ⇒ (∀p:partition(I). ∀x:partition-choice(full-partition(I;p)). ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
          (p refines q
          ⇒ (|partition-sum(f;y;full-partition(I;q)) - partition-sum(f;x;full-partition(I;p))| ≤ ((r1/r(n)) * |I|)))))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}I:Interval
    (icompact(I)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.  \mforall{}mc:f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I.  \mforall{}q:partition(I).  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.
                ((partition-mesh(I;q)  \mleq{}  (mc  1  n))
                {}\mRightarrow{}  frs-increasing(q)
                {}\mRightarrow{}  (\mforall{}p:partition(I).  \mforall{}x:partition-choice(full-partition(I;p)).
                        \mforall{}y:partition-choice(full-partition(I;q)).
                            (p  refines  q
                            {}\mRightarrow{}  (|partition-sum(f;y;full-partition(I;q)) 
                                  -  partition-sum(f;x;full-partition(I;p))|  \mleq{}  ((r1/r(n))  *  |I|)))))))


By

---

Latex:
(RepeatFor  4  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  (Assert  \mforall{}m,n:\mBbbN{}\msupplus{}.
                                (mc  m  n  \mmember{}  \{d:\mBbbR{}| 
                                                      (r0  <  d)
                                                      \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                                                ((x  \mmember{}  I)
                                                                {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)
                                                                {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                                                {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n)))))\}  )  BY
                          ((UnivCD  THENA  Auto)  THEN  Unfold  `continuous`  4  THEN  DoSubsume  THEN  Auto))
  )

---

Home Index