---

Step * 1 of Lemma partition-refinement-sum


1. I : Interval@i
2. icompact(I)@i
3. f : I ⟶ℝ@i
4. mc : f[x] continuous for x ∈ I@i
5. ∀m,n:ℕ+.
     (mc m n ∈ {d:ℝ| (r0 < d) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n)))))} )
⊢ ∀q:partition(I). ∀n:ℕ+.
    ((partition-mesh(I;q) ≤ (mc 1 n))
    ⇒ frs-increasing(q)
    ⇒ (∀p:partition(I). ∀x:partition-choice(full-partition(I;p)). ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
          (p refines q
          ⇒ (|partition-sum(f;y;full-partition(I;q)) - partition-sum(f;x;full-partition(I;p))| ≤ ((r1/r(n)) * |I|)))))
BY
{ ((Assert ⌜∀K:ℕ. ∀J:Interval.
              (icompact(J)
              ⇒ J ⊆ I 
              ⇒ (∀q:partition(J)
                    ((||q|| ≤ K)
                    ⇒ (∀n:ℕ+
                          ((partition-mesh(J;q) ≤ (mc 1 n))
                          ⇒ frs-increasing(q)
                          ⇒ (∀p:partition(J). ∀x:partition-choice(full-partition(J;p)).
                              ∀y:partition-choice(full-partition(J;q)).
                                (p refines q
                                ⇒ (|partition-sum(f;y;full-partition(J;q)) 
                                   - partition-sum(f;x;full-partition(J;p))| ≤ ((r1/r(n)) * |J|)))))))))⌝⋅
   THENM ((D 0 THENA Auto) THEN InstHyp [⌜||q||⌝;⌜I⌝;⌜q⌝] (-2)⋅ THEN Auto THEN D 0 THEN Auto)
   )
   THEN CompleteInductionOnNat
   THEN Auto) }

1
1. I : Interval@i
2. icompact(I)@i
3. f : I ⟶ℝ@i
4. mc : f[x] continuous for x ∈ I@i
5. ∀m,n:ℕ+.
     (mc m n ∈ {d:ℝ| (r0 < d) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n)))))} )
6. K : ℕ
7. ∀K:ℕK. ∀J:Interval.
     (icompact(J)
     ⇒ J ⊆ I 
     ⇒ (∀q:partition(J)
           ((||q|| ≤ K)
           ⇒ (∀n:ℕ+
                 ((partition-mesh(J;q) ≤ (mc 1 n))
                 ⇒ frs-increasing(q)
                 ⇒ (∀p:partition(J). ∀x:partition-choice(full-partition(J;p)).
                     ∀y:partition-choice(full-partition(J;q)).
                       (p refines q
                       ⇒ (|partition-sum(f;y;full-partition(J;q)) 
                          - partition-sum(f;x;full-partition(J;p))| ≤ ((r1/r(n)) * |J|)))))))))
8. J : Interval@i
9. icompact(J)@i
10. J ⊆ I @i
11. q : partition(J)@i
12. ||q|| ≤ K@i
13. n : ℕ+@i
14. partition-mesh(J;q) ≤ (mc 1 n)@i
15. frs-increasing(q)@i
16. p : partition(J)@i
17. x : partition-choice(full-partition(J;p))@i
18. y : partition-choice(full-partition(J;q))@i
19. p refines q@i
⊢ |partition-sum(f;y;full-partition(J;q)) - partition-sum(f;x;full-partition(J;p))| ≤ ((r1/r(n)) * |J|)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval@i
2.  icompact(I)@i
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}@i
4.  mc  :  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I@i
5.  \mforall{}m,n:\mBbbN{}\msupplus{}.
          (mc  m  n  \mmember{}  \{d:\mBbbR{}| 
                                (r0  <  d)
                                \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n)))))\}  )
\mvdash{}  \mforall{}q:partition(I).  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.
        ((partition-mesh(I;q)  \mleq{}  (mc  1  n))
        {}\mRightarrow{}  frs-increasing(q)
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}p:partition(I).  \mforall{}x:partition-choice(full-partition(I;p)).
                \mforall{}y:partition-choice(full-partition(I;q)).
                    (p  refines  q
                    {}\mRightarrow{}  (|partition-sum(f;y;full-partition(I;q)) 
                          -  partition-sum(f;x;full-partition(I;p))|  \mleq{}  ((r1/r(n))  *  |I|)))))


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}K:\mBbbN{}.  \mforall{}J:Interval.
                        (icompact(J)
                        {}\mRightarrow{}  J  \msubseteq{}  I 
                        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}q:partition(J)
                                    ((||q||  \mleq{}  K)
                                    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}
                                                ((partition-mesh(J;q)  \mleq{}  (mc  1  n))
                                                {}\mRightarrow{}  frs-increasing(q)
                                                {}\mRightarrow{}  (\mforall{}p:partition(J).  \mforall{}x:partition-choice(full-partition(J;p)).
                                                        \mforall{}y:partition-choice(full-partition(J;q)).
                                                            (p  refines  q
                                                            {}\mRightarrow{}  (|partition-sum(f;y;full-partition(J;q)) 
                                                                  -  partition-sum(f;x;full-partition(J;p))|  \mleq{}  ((r1/r(n))
                                                                  *  |J|)))))))))\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THENM  ((D  0  THENA  Auto)  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}||q||\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}q\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}  THEN  Auto  THEN  D  0  THEN  Auto)
  )
  THEN  CompleteInductionOnNat
  THEN  Auto)

---

Home Index