---

Step * 1 1 of Lemma partition-refinement-sum


1. I : Interval@i
2. icompact(I)@i
3. f : I ⟶ℝ@i
4. mc : f[x] continuous for x ∈ I@i
5. ∀m,n:ℕ+.
     (mc m n ∈ {d:ℝ| (r0 < d) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n)))))} )
6. K : ℕ
7. ∀K:ℕK. ∀J:Interval.
     (icompact(J)
     ⇒ J ⊆ I 
     ⇒ (∀q:partition(J)
           ((||q|| ≤ K)
           ⇒ (∀n:ℕ+
                 ((partition-mesh(J;q) ≤ (mc 1 n))
                 ⇒ frs-increasing(q)
                 ⇒ (∀p:partition(J). ∀x:partition-choice(full-partition(J;p)).
                     ∀y:partition-choice(full-partition(J;q)).
                       (p refines q
                       ⇒ (|partition-sum(f;y;full-partition(J;q)) 
                          - partition-sum(f;x;full-partition(J;p))| ≤ ((r1/r(n)) * |J|)))))))))
8. J : Interval@i
9. icompact(J)@i
10. J ⊆ I @i
11. q : partition(J)@i
12. ||q|| ≤ K@i
13. n : ℕ+@i
14. partition-mesh(J;q) ≤ (mc 1 n)@i
15. frs-increasing(q)@i
16. p : partition(J)@i
17. x : partition-choice(full-partition(J;p))@i
18. y : partition-choice(full-partition(J;q))@i
19. p refines q@i
⊢ |partition-sum(f;y;full-partition(J;q)) - partition-sum(f;x;full-partition(J;p))| ≤ ((r1/r(n)) * |J|)
BY
{ (RepeatFor 2 (DVar `q'⋅) THEN Auto') }

1
1. I : Interval@i
2. icompact(I)@i
3. f : I ⟶ℝ@i
4. mc : f[x] continuous for x ∈ I@i
5. ∀m,n:ℕ+.
     (mc m n ∈ {d:ℝ| (r0 < d) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n)))))} )
6. K : ℕ
7. ∀K:ℕK. ∀J:Interval.
     (icompact(J)
     ⇒ J ⊆ I 
     ⇒ (∀q:partition(J)
           ((||q|| ≤ K)
           ⇒ (∀n:ℕ+
                 ((partition-mesh(J;q) ≤ (mc 1 n))
                 ⇒ frs-increasing(q)
                 ⇒ (∀p:partition(J). ∀x:partition-choice(full-partition(J;p)).
                     ∀y:partition-choice(full-partition(J;q)).
                       (p refines q
                       ⇒ (|partition-sum(f;y;full-partition(J;q)) 
                          - partition-sum(f;x;full-partition(J;p))| ≤ ((r1/r(n)) * |J|)))))))))
8. J : Interval@i
9. icompact(J)@i
10. J ⊆ I @i
11. [%16] : partitions(J;[])@i
12. ||[]|| ≤ K@i
13. n : ℕ+@i
14. partition-mesh(J;[]) ≤ (mc 1 n)@i
15. frs-increasing([])@i
16. p : partition(J)@i
17. x : partition-choice(full-partition(J;p))@i
18. y : partition-choice(full-partition(J;[]))@i
19. p refines []@i
⊢ |partition-sum(f;y;full-partition(J;[])) - partition-sum(f;x;full-partition(J;p))| ≤ ((r1/r(n)) * |J|)

2
1. I : Interval@i
2. icompact(I)@i
3. f : I ⟶ℝ@i
4. mc : f[x] continuous for x ∈ I@i
5. ∀m,n:ℕ+.
     (mc m n ∈ {d:ℝ| (r0 < d) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n)))))} )
6. K : ℕ
7. ∀K:ℕK. ∀J:Interval.
     (icompact(J)
     ⇒ J ⊆ I 
     ⇒ (∀q:partition(J)
           ((||q|| ≤ K)
           ⇒ (∀n:ℕ+
                 ((partition-mesh(J;q) ≤ (mc 1 n))
                 ⇒ frs-increasing(q)
                 ⇒ (∀p:partition(J). ∀x:partition-choice(full-partition(J;p)).
                     ∀y:partition-choice(full-partition(J;q)).
                       (p refines q
                       ⇒ (|partition-sum(f;y;full-partition(J;q)) 
                          - partition-sum(f;x;full-partition(J;p))| ≤ ((r1/r(n)) * |J|)))))))))
8. J : Interval@i
9. icompact(J)@i
10. J ⊆ I @i
11. u : ℝ
12. v : ℝ List
13. [%16] : partitions(J;[u / v])@i
14. ||[u / v]|| ≤ K@i
15. n : ℕ+@i
16. partition-mesh(J;[u / v]) ≤ (mc 1 n)@i
17. frs-increasing([u / v])@i
18. p : partition(J)@i
19. x : partition-choice(full-partition(J;p))@i
20. y : partition-choice(full-partition(J;[u / v]))@i
21. p refines [u / v]@i
⊢ |partition-sum(f;y;full-partition(J;[u / v])) - partition-sum(f;x;full-partition(J;p))| ≤ ((r1/r(n)) * |J|)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval@i
2.  icompact(I)@i
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}@i
4.  mc  :  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I@i
5.  \mforall{}m,n:\mBbbN{}\msupplus{}.
          (mc  m  n  \mmember{}  \{d:\mBbbR{}| 
                                (r0  <  d)
                                \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n)))))\}  )
6.  K  :  \mBbbN{}
7.  \mforall{}K:\mBbbN{}K.  \mforall{}J:Interval.
          (icompact(J)
          {}\mRightarrow{}  J  \msubseteq{}  I 
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}q:partition(J)
                      ((||q||  \mleq{}  K)
                      {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}
                                  ((partition-mesh(J;q)  \mleq{}  (mc  1  n))
                                  {}\mRightarrow{}  frs-increasing(q)
                                  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}p:partition(J).  \mforall{}x:partition-choice(full-partition(J;p)).
                                          \mforall{}y:partition-choice(full-partition(J;q)).
                                              (p  refines  q
                                              {}\mRightarrow{}  (|partition-sum(f;y;full-partition(J;q)) 
                                                    -  partition-sum(f;x;full-partition(J;p))|  \mleq{}  ((r1/r(n))  *  |J|)))))))))
8.  J  :  Interval@i
9.  icompact(J)@i
10.  J  \msubseteq{}  I  @i
11.  q  :  partition(J)@i
12.  ||q||  \mleq{}  K@i
13.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
14.  partition-mesh(J;q)  \mleq{}  (mc  1  n)@i
15.  frs-increasing(q)@i
16.  p  :  partition(J)@i
17.  x  :  partition-choice(full-partition(J;p))@i
18.  y  :  partition-choice(full-partition(J;q))@i
19.  p  refines  q@i
\mvdash{}  |partition-sum(f;y;full-partition(J;q))  -  partition-sum(f;x;full-partition(J;p))|  \mleq{}  ((r1/r(n))
*  |J|)


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (DVar  `q'\mcdot{})  THEN  Auto')

---

Home Index