---

Step * of Lemma partition-refines-cons

No Annotations
∀I:Interval
  (icompact(I)
  ⇒ (∀a:ℝ. ∀bs:ℝ List.
        (partitions(I;[a / bs])
        ⇒ (0 < ||bs|| ⇒ (a < hd(bs)))
        ⇒ (∀p:partition(I)
              (p refines [a / bs]
              ⇒ (∃q:partition([left-endpoint(I), a])
                   ∃r:partition([a, right-endpoint(I)])
                    (q refines []
                    ∧ r refines bs
                    ∧ (∃x:ℝ. ((x = a) ∧ (p = (q @ [x / r]) ∈ (ℝ List))))
                    ∧ ||r|| + ||q|| < ||p||
                    ∧ (∀x:partition-choice(full-partition(I;p))
                         (is-partition-choice(full-partition([left-endpoint(I), a];q);x)
                         ∧ is-partition-choice(full-partition([a, right-endpoint(I)];r);λi.(x (i + ||q|| + 1))))))))))))
BY
{ (InstLemma `partition-split-cons-mesh` []
   THEN RepeatFor 5 (ParallelLast)
   THEN Auto
   THEN (Assert (∃y∈p. a = y) BY
               OnMaybeHyp 7 (\h. ((With ⌜0⌝ (D h)⋅ THENA Auto) THEN Reduce (-1) THEN Trivial)))
   THEN D -1
   THEN (InstLemma `firstn_nth_tl_decomp` [⌜ℝ⌝;⌜p⌝;⌜i⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert ||firstn(i;p)|| ≤ ||full-partition(I;p)|| BY
               (RepUR ``full-partition`` 0 THEN RWO "length_firstn" 0 THEN Auto'))
   THEN (Assert icompact([a, right-endpoint(I)]) BY
               (BLemma `rccint-icompact` THEN Auto))
   THEN (Assert bs ∈ partition([a, right-endpoint(I)]) BY
               (MemTypeCD THEN Auto))
   THEN (Assert icompact([left-endpoint(I), a]) BY
               (BLemma `rccint-icompact` THEN Auto))
   THEN (Assert [] ∈ partition([left-endpoint(I), a]) BY
               (MemTypeCD THEN Auto))
   THEN (Assert firstn(i;p) ∈ partition([left-endpoint(I), a]) BY
               (BLemma `firstn-partition` THEN Auto))
   THEN (Assert nth_tl(i + 1;p) ∈ partition([a, right-endpoint(I)]) BY
               (BLemma `nth_tl-partition` THEN Auto))
   THEN InstConcl [⌜firstn(i;p)⌝;⌜nth_tl(i + 1;p)⌝]⋅
   THEN Try (Trivial)) }

1
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. a : ℝ
4. bs : ℝ List
5. partitions(I;[a / bs])
6. partitions([left-endpoint(I), a];[])
7. partitions([a, right-endpoint(I)];bs)
8. left-endpoint(I) ≤ a
9. a ≤ right-endpoint(I)
10. partition-mesh([left-endpoint(I), a];[]) ≤ partition-mesh(I;[a / bs])
11. partition-mesh([a, right-endpoint(I)];bs) ≤ partition-mesh(I;[a / bs])
12. 0 < ||bs|| ⇒ (a < hd(bs))
13. p : partition(I)
14. p refines [a / bs]
15. i : ℕ||p||
16. a = p[i]
17. p ~ firstn(i;p) @ [p[i]] @ nth_tl(1 + i;p)
18. ||firstn(i;p)|| ≤ ||full-partition(I;p)||
19. icompact([a, right-endpoint(I)])
20. bs ∈ partition([a, right-endpoint(I)])
21. icompact([left-endpoint(I), a])
22. [] ∈ partition([left-endpoint(I), a])
23. firstn(i;p) ∈ partition([left-endpoint(I), a])
24. nth_tl(i + 1;p) ∈ partition([a, right-endpoint(I)])
⊢ firstn(i;p) refines []
∧ nth_tl(i + 1;p) refines bs
∧ (∃x:ℝ. ((x = a) ∧ (p = (firstn(i;p) @ [x / nth_tl(i + 1;p)]) ∈ (ℝ List))))
∧ ||nth_tl(i + 1;p)|| + ||firstn(i;p)|| < ||p||
∧ (∀x:partition-choice(full-partition(I;p))
     (is-partition-choice(full-partition([left-endpoint(I), a];firstn(i;p));x)
     ∧ is-partition-choice(full-partition([a, right-endpoint(I)];nth_tl(i + 1;
                                                                        p));λi@0.(x (i@0 + ||firstn(i;p)|| + 1)))))

2
.....wf..... 
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. a : ℝ
4. bs : ℝ List
5. partitions(I;[a / bs])
6. partitions([left-endpoint(I), a];[])
7. partitions([a, right-endpoint(I)];bs)
8. left-endpoint(I) ≤ a
9. a ≤ right-endpoint(I)
10. partition-mesh([left-endpoint(I), a];[]) ≤ partition-mesh(I;[a / bs])
11. partition-mesh([a, right-endpoint(I)];bs) ≤ partition-mesh(I;[a / bs])
12. 0 < ||bs|| ⇒ (a < hd(bs))
13. p : partition(I)
14. p refines [a / bs]
15. i : ℕ||p||
16. a = p[i]
17. p ~ firstn(i;p) @ [p[i]] @ nth_tl(1 + i;p)
18. ||firstn(i;p)|| ≤ ||full-partition(I;p)||
19. icompact([a, right-endpoint(I)])
20. bs ∈ partition([a, right-endpoint(I)])
21. icompact([left-endpoint(I), a])
22. [] ∈ partition([left-endpoint(I), a])
23. firstn(i;p) ∈ partition([left-endpoint(I), a])
24. nth_tl(i + 1;p) ∈ partition([a, right-endpoint(I)])
25. r : partition([a, right-endpoint(I)])
⊢ istype(firstn(i;p) refines []
∧ r refines bs
∧ (∃x:ℝ. ((x = a) ∧ (p = (firstn(i;p) @ [x / r]) ∈ (ℝ List))))
∧ ||r|| + ||firstn(i;p)|| < ||p||
∧ (∀x:partition-choice(full-partition(I;p))
     (is-partition-choice(full-partition([left-endpoint(I), a];firstn(i;p));x)
     ∧ is-partition-choice(full-partition([a, right-endpoint(I)];r);λi@0.(x (i@0 + ||firstn(i;p)|| + 1))))))

3
.....wf..... 
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. a : ℝ
4. bs : ℝ List
5. partitions(I;[a / bs])
6. partitions([left-endpoint(I), a];[])
7. partitions([a, right-endpoint(I)];bs)
8. left-endpoint(I) ≤ a
9. a ≤ right-endpoint(I)
10. partition-mesh([left-endpoint(I), a];[]) ≤ partition-mesh(I;[a / bs])
11. partition-mesh([a, right-endpoint(I)];bs) ≤ partition-mesh(I;[a / bs])
12. 0 < ||bs|| ⇒ (a < hd(bs))
13. p : partition(I)
14. p refines [a / bs]
15. i : ℕ||p||
16. a = p[i]
17. p ~ firstn(i;p) @ [p[i]] @ nth_tl(1 + i;p)
18. ||firstn(i;p)|| ≤ ||full-partition(I;p)||
19. icompact([a, right-endpoint(I)])
20. bs ∈ partition([a, right-endpoint(I)])
21. icompact([left-endpoint(I), a])
22. [] ∈ partition([left-endpoint(I), a])
23. firstn(i;p) ∈ partition([left-endpoint(I), a])
24. nth_tl(i + 1;p) ∈ partition([a, right-endpoint(I)])
25. q : partition([left-endpoint(I), a])
⊢ istype(∃r:partition([a, right-endpoint(I)])
          (q refines []
          ∧ r refines bs
          ∧ (∃x:ℝ. ((x = a) ∧ (p = (q @ [x / r]) ∈ (ℝ List))))
          ∧ ||r|| + ||q|| < ||p||
          ∧ (∀x:partition-choice(full-partition(I;p))
               (is-partition-choice(full-partition([left-endpoint(I), a];q);x)
               ∧ is-partition-choice(full-partition([a, right-endpoint(I)];r);λi.(x (i + ||q|| + 1)))))))

---

Latex:

---

Latex:
No  Annotations
\mforall{}I:Interval
    (icompact(I)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:\mBbbR{}.  \mforall{}bs:\mBbbR{}  List.
                (partitions(I;[a  /  bs])
                {}\mRightarrow{}  (0  <  ||bs||  {}\mRightarrow{}  (a  <  hd(bs)))
                {}\mRightarrow{}  (\mforall{}p:partition(I)
                            (p  refines  [a  /  bs]
                            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}q:partition([left-endpoint(I),  a])
                                      \mexists{}r:partition([a,  right-endpoint(I)])
                                        (q  refines  []
                                        \mwedge{}  r  refines  bs
                                        \mwedge{}  (\mexists{}x:\mBbbR{}.  ((x  =  a)  \mwedge{}  (p  =  (q  @  [x  /  r]))))
                                        \mwedge{}  ...)))))))


By

---

Latex:
(InstLemma  `partition-split-cons-mesh`  []
  THEN  RepeatFor  5  (ParallelLast)
  THEN  Auto
  THEN  (Assert  (\mexists{}y\mmember{}p.  a  =  y)  BY
                          OnMaybeHyp  7  (\mbackslash{}h.  ((With  \mkleeneopen{}0\mkleeneclose{}  (D  h)\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  Reduce  (-1)  THEN  Trivial)))
  THEN  D  -1
  THEN  (InstLemma  `firstn\_nth\_tl\_decomp`  [\mkleeneopen{}\mBbbR{}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  ||firstn(i;p)||  \mleq{}  ||full-partition(I;p)||  BY
                          (RepUR  ``full-partition``  0  THEN  RWO  "length\_firstn"  0  THEN  Auto'))
  THEN  (Assert  icompact([a,  right-endpoint(I)])  BY
                          (BLemma  `rccint-icompact`  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  bs  \mmember{}  partition([a,  right-endpoint(I)])  BY
                          (MemTypeCD  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  icompact([left-endpoint(I),  a])  BY
                          (BLemma  `rccint-icompact`  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  []  \mmember{}  partition([left-endpoint(I),  a])  BY
                          (MemTypeCD  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  firstn(i;p)  \mmember{}  partition([left-endpoint(I),  a])  BY
                          (BLemma  `firstn-partition`  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  nth\_tl(i  +  1;p)  \mmember{}  partition([a,  right-endpoint(I)])  BY
                          (BLemma  `nth\_tl-partition`  THEN  Auto))
  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}firstn(i;p)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}nth\_tl(i  +  1;p)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Try  (Trivial))

---

Home Index