---

Step * 3 of Lemma partition-refines-cons

.....wf..... 
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. a : ℝ
4. bs : ℝ List
5. partitions(I;[a / bs])
6. partitions([left-endpoint(I), a];[])
7. partitions([a, right-endpoint(I)];bs)
8. left-endpoint(I) ≤ a
9. a ≤ right-endpoint(I)
10. partition-mesh([left-endpoint(I), a];[]) ≤ partition-mesh(I;[a / bs])
11. partition-mesh([a, right-endpoint(I)];bs) ≤ partition-mesh(I;[a / bs])
12. 0 < ||bs|| ⇒ (a < hd(bs))
13. p : partition(I)
14. p refines [a / bs]
15. i : ℕ||p||
16. a = p[i]
17. p ~ firstn(i;p) @ [p[i]] @ nth_tl(1 + i;p)
18. ||firstn(i;p)|| ≤ ||full-partition(I;p)||
19. icompact([a, right-endpoint(I)])
20. bs ∈ partition([a, right-endpoint(I)])
21. icompact([left-endpoint(I), a])
22. [] ∈ partition([left-endpoint(I), a])
23. firstn(i;p) ∈ partition([left-endpoint(I), a])
24. nth_tl(i + 1;p) ∈ partition([a, right-endpoint(I)])
25. q : partition([left-endpoint(I), a])
⊢ istype(∃r:partition([a, right-endpoint(I)])
          (q refines []
          ∧ r refines bs
          ∧ (∃x:ℝ. ((x = a) ∧ (p = (q @ [x / r]) ∈ (ℝ List))))
          ∧ ||r|| + ||q|| < ||p||
          ∧ (∀x:partition-choice(full-partition(I;p))
               (is-partition-choice(full-partition([left-endpoint(I), a];q);x)
               ∧ is-partition-choice(full-partition([a, right-endpoint(I)];r);λi.(x (i + ||q|| + 1)))))))
BY
{ RepeatFor 6 ((D 0 THENL [Auto; Id])) }

1
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. a : ℝ
4. bs : ℝ List
5. partitions(I;[a / bs])
6. partitions([left-endpoint(I), a];[])
7. partitions([a, right-endpoint(I)];bs)
8. left-endpoint(I) ≤ a
9. a ≤ right-endpoint(I)
10. partition-mesh([left-endpoint(I), a];[]) ≤ partition-mesh(I;[a / bs])
11. partition-mesh([a, right-endpoint(I)];bs) ≤ partition-mesh(I;[a / bs])
12. 0 < ||bs|| ⇒ (a < hd(bs))
13. p : partition(I)
14. p refines [a / bs]
15. i : ℕ||p||
16. a = p[i]
17. p ~ firstn(i;p) @ [p[i]] @ nth_tl(1 + i;p)
18. ||firstn(i;p)|| ≤ ||full-partition(I;p)||
19. icompact([a, right-endpoint(I)])
20. bs ∈ partition([a, right-endpoint(I)])
21. icompact([left-endpoint(I), a])
22. [] ∈ partition([left-endpoint(I), a])
23. firstn(i;p) ∈ partition([left-endpoint(I), a])
24. nth_tl(i + 1;p) ∈ partition([a, right-endpoint(I)])
25. q : partition([left-endpoint(I), a])
26. r : partition([a, right-endpoint(I)])
27. x : q refines []
28. x1 : r refines bs
29. x2 : ∃x:ℝ. ((x = a) ∧ (p = (q @ [x / r]) ∈ (ℝ List)))
30. x3 : ||r|| + ||q|| < ||p||
31. x4 : partition-choice(full-partition(I;p))
⊢ istype(is-partition-choice(full-partition([left-endpoint(I), a];q);x4)
∧ is-partition-choice(full-partition([a, right-endpoint(I)];r);λi.(x4 (i + ||q|| + 1))))

---

Latex:

---

Latex:
.....wf..... 
1.  I  :  Interval
2.  icompact(I)
3.  a  :  \mBbbR{}
4.  bs  :  \mBbbR{}  List
5.  partitions(I;[a  /  bs])
6.  partitions([left-endpoint(I),  a];[])
7.  partitions([a,  right-endpoint(I)];bs)
8.  left-endpoint(I)  \mleq{}  a
9.  a  \mleq{}  right-endpoint(I)
10.  partition-mesh([left-endpoint(I),  a];[])  \mleq{}  partition-mesh(I;[a  /  bs])
11.  partition-mesh([a,  right-endpoint(I)];bs)  \mleq{}  partition-mesh(I;[a  /  bs])
12.  0  <  ||bs||  {}\mRightarrow{}  (a  <  hd(bs))
13.  p  :  partition(I)
14.  p  refines  [a  /  bs]
15.  i  :  \mBbbN{}||p||
16.  a  =  p[i]
17.  p  \msim{}  firstn(i;p)  @  [p[i]]  @  nth\_tl(1  +  i;p)
18.  ||firstn(i;p)||  \mleq{}  ||full-partition(I;p)||
19.  icompact([a,  right-endpoint(I)])
20.  bs  \mmember{}  partition([a,  right-endpoint(I)])
21.  icompact([left-endpoint(I),  a])
22.  []  \mmember{}  partition([left-endpoint(I),  a])
23.  firstn(i;p)  \mmember{}  partition([left-endpoint(I),  a])
24.  nth\_tl(i  +  1;p)  \mmember{}  partition([a,  right-endpoint(I)])
25.  q  :  partition([left-endpoint(I),  a])
\mvdash{}  istype(\mexists{}r:partition([a,  right-endpoint(I)])
                    (q  refines  []
                    \mwedge{}  r  refines  bs
                    \mwedge{}  (\mexists{}x:\mBbbR{}.  ((x  =  a)  \mwedge{}  (p  =  (q  @  [x  /  r]))))
                    \mwedge{}  ||r||  +  ||q||  <  ||p||
                    \mwedge{}  (\mforall{}x:partition-choice(full-partition(I;p))
                              (is-partition-choice(full-partition([left-endpoint(I),  a];q);x)
                              \mwedge{}  is-partition-choice(full-partition([a,  right-endpoint(I)];r);\mlambda{}i.(x 
                                                                                                                                                                    (i
                                                                                                                                                                    +  ||q||
                                                                                                                                                                    +  1)))))))


By

---

Latex:
RepeatFor  6  ((D  0  THENL  [Auto;  Id]))

---

Home Index