---

Step * 1 5 1 1 1 2 1 3 1 of Lemma partition-refines-cons


1. I : Interval
2. icompact(I)
3. a : ℝ
4. bs : ℝ List
5. partitions(I;[a / bs])
6. partitions([left-endpoint(I), a];[])
7. partitions([a, right-endpoint(I)];bs)
8. left-endpoint(I) ≤ a
9. a ≤ right-endpoint(I)
10. partition-mesh([left-endpoint(I), a];[]) ≤ partition-mesh(I;[a / bs])
11. partition-mesh([a, right-endpoint(I)];bs) ≤ partition-mesh(I;[a / bs])
12. 0 < ||bs|| ⇒ (a < hd(bs))
13. p : partition(I)
14. p refines [a / bs]
15. i : ℕ||p||
16. a = p[i]
17. p ~ firstn(i;p) @ [p[i]] @ nth_tl(1 + i;p)
18. ||firstn(i;p)|| ≤ ||full-partition(I;p)||
19. icompact([a, right-endpoint(I)])
20. bs ∈ partition([a, right-endpoint(I)])
21. icompact([left-endpoint(I), a])
22. [] ∈ partition([left-endpoint(I), a])
23. firstn(i;p) ∈ partition([left-endpoint(I), a])
24. nth_tl(i + 1;p) ∈ partition([a, right-endpoint(I)])
25. firstn(i;p) refines []
26. nth_tl(i + 1;p) refines bs
27. ∃x:ℝ. ((x = a) ∧ (p = (firstn(i;p) @ [x / nth_tl(i + 1;p)]) ∈ (ℝ List)))
28. ||nth_tl(i + 1;p)|| + ||firstn(i;p)|| < ||p||
29. x : partition-choice(full-partition(I;p))
30. is-partition-choice(full-partition([left-endpoint(I), a];firstn(i;p));x)
31. ∀i:ℕ||full-partition(I;p)|| - 1. (x i ∈ [full-partition(I;p)[i], full-partition(I;p)[i + 1]])
32. ||full-partition([a, right-endpoint(I)];nth_tl(i + 1;p))|| = ((||p|| + 1) - i) ∈ ℤ
33. x ∈ ℕ||p|| + 1 ⟶ ℝ
34. ||full-partition(I;p)|| = (||p|| + 2) ∈ ℤ
35. j : ℕ(||p|| + 1) - i - 1
36. ¬(j + 1) - 1 < ||p|| - i + 1
37. ¬((j + i + 1) + 1) - 1 < ||p||
⊢ [right-endpoint(I)][((j + i + 1) + 1) - 1 - ||p||] = [right-endpoint(I)][(j + 1) - 1 - ||nth_tl(i + 1;p)||]
BY
{ TACTIC:((Subst' ((j + i + 1) + 1) - 1 - ||p|| ~ 0 0 THENA Auto') THEN Reduce 0) }

1
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. a : ℝ
4. bs : ℝ List
5. partitions(I;[a / bs])
6. partitions([left-endpoint(I), a];[])
7. partitions([a, right-endpoint(I)];bs)
8. left-endpoint(I) ≤ a
9. a ≤ right-endpoint(I)
10. partition-mesh([left-endpoint(I), a];[]) ≤ partition-mesh(I;[a / bs])
11. partition-mesh([a, right-endpoint(I)];bs) ≤ partition-mesh(I;[a / bs])
12. 0 < ||bs|| ⇒ (a < hd(bs))
13. p : partition(I)
14. p refines [a / bs]
15. i : ℕ||p||
16. a = p[i]
17. p ~ firstn(i;p) @ [p[i]] @ nth_tl(1 + i;p)
18. ||firstn(i;p)|| ≤ ||full-partition(I;p)||
19. icompact([a, right-endpoint(I)])
20. bs ∈ partition([a, right-endpoint(I)])
21. icompact([left-endpoint(I), a])
22. [] ∈ partition([left-endpoint(I), a])
23. firstn(i;p) ∈ partition([left-endpoint(I), a])
24. nth_tl(i + 1;p) ∈ partition([a, right-endpoint(I)])
25. firstn(i;p) refines []
26. nth_tl(i + 1;p) refines bs
27. ∃x:ℝ. ((x = a) ∧ (p = (firstn(i;p) @ [x / nth_tl(i + 1;p)]) ∈ (ℝ List)))
28. ||nth_tl(i + 1;p)|| + ||firstn(i;p)|| < ||p||
29. x : partition-choice(full-partition(I;p))
30. is-partition-choice(full-partition([left-endpoint(I), a];firstn(i;p));x)
31. ∀i:ℕ||full-partition(I;p)|| - 1. (x i ∈ [full-partition(I;p)[i], full-partition(I;p)[i + 1]])
32. ||full-partition([a, right-endpoint(I)];nth_tl(i + 1;p))|| = ((||p|| + 1) - i) ∈ ℤ
33. x ∈ ℕ||p|| + 1 ⟶ ℝ
34. ||full-partition(I;p)|| = (||p|| + 2) ∈ ℤ
35. j : ℕ(||p|| + 1) - i - 1
36. ¬(j + 1) - 1 < ||p|| - i + 1
37. ¬((j + i + 1) + 1) - 1 < ||p||
⊢ right-endpoint(I) = [right-endpoint(I)][(j + 1) - 1 - ||nth_tl(i + 1;p)||]

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  icompact(I)
3.  a  :  \mBbbR{}
4.  bs  :  \mBbbR{}  List
5.  partitions(I;[a  /  bs])
6.  partitions([left-endpoint(I),  a];[])
7.  partitions([a,  right-endpoint(I)];bs)
8.  left-endpoint(I)  \mleq{}  a
9.  a  \mleq{}  right-endpoint(I)
10.  partition-mesh([left-endpoint(I),  a];[])  \mleq{}  partition-mesh(I;[a  /  bs])
11.  partition-mesh([a,  right-endpoint(I)];bs)  \mleq{}  partition-mesh(I;[a  /  bs])
12.  0  <  ||bs||  {}\mRightarrow{}  (a  <  hd(bs))
13.  p  :  partition(I)
14.  p  refines  [a  /  bs]
15.  i  :  \mBbbN{}||p||
16.  a  =  p[i]
17.  p  \msim{}  firstn(i;p)  @  [p[i]]  @  nth\_tl(1  +  i;p)
18.  ||firstn(i;p)||  \mleq{}  ||full-partition(I;p)||
19.  icompact([a,  right-endpoint(I)])
20.  bs  \mmember{}  partition([a,  right-endpoint(I)])
21.  icompact([left-endpoint(I),  a])
22.  []  \mmember{}  partition([left-endpoint(I),  a])
23.  firstn(i;p)  \mmember{}  partition([left-endpoint(I),  a])
24.  nth\_tl(i  +  1;p)  \mmember{}  partition([a,  right-endpoint(I)])
25.  firstn(i;p)  refines  []
26.  nth\_tl(i  +  1;p)  refines  bs
27.  \mexists{}x:\mBbbR{}.  ((x  =  a)  \mwedge{}  (p  =  (firstn(i;p)  @  [x  /  nth\_tl(i  +  1;p)])))
28.  ||nth\_tl(i  +  1;p)||  +  ||firstn(i;p)||  <  ||p||
29.  x  :  partition-choice(full-partition(I;p))
30.  is-partition-choice(full-partition([left-endpoint(I),  a];firstn(i;p));x)
31.  \mforall{}i:\mBbbN{}||full-partition(I;p)||  -  1.  (x  i  \mmember{}  [full-partition(I;p)[i],  full-partition(I;p)[i  +  1]])
32.  ||full-partition([a,  right-endpoint(I)];nth\_tl(i  +  1;p))||  =  ((||p||  +  1)  -  i)
33.  x  \mmember{}  \mBbbN{}||p||  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
34.  ||full-partition(I;p)||  =  (||p||  +  2)
35.  j  :  \mBbbN{}(||p||  +  1)  -  i  -  1
36.  \mneg{}(j  +  1)  -  1  <  ||p||  -  i  +  1
37.  \mneg{}((j  +  i  +  1)  +  1)  -  1  <  ||p||
\mvdash{}  [right-endpoint(I)][((j  +  i  +  1)  +  1)  -  1  -  ||p||]
=  [right-endpoint(I)][(j  +  1)  -  1  -  ||nth\_tl(i  +  1;p)||]


By

---

Latex:
TACTIC:((Subst'  ((j  +  i  +  1)  +  1)  -  1  -  ||p||  \msim{}  0  0  THENA  Auto')  THEN  Reduce  0)

---

Home Index