---

Step * 1 1 1 1 2 1 2 of Lemma prod-metric-space-complete


1. k : ℕ
2. X : ℕk ⟶ MetricSpace
3. ∀i:ℕk. mcomplete(X i)
4. prod-metric(k;λi.(snd((X i)))) ∈ metric(i:ℕk ⟶ (fst((X i))))
5. x : ℕ ⟶ i:ℕk ⟶ (fst((X i)))
6. mcauchy(prod-metric(k;λi.(snd((X i))));n.x n)
7. ∀i:ℕk. mcauchy(snd((X i));n.x n i)
8. ∀i:ℕk. ∃y:fst((X i)). lim n→∞.x n i = y
9. f : i:ℕk ⟶ (fst((X i)))
10. ∀i:ℕk. lim n→∞.x n i = f i
11. m : ℕ+
12. ¬(k = 0 ∈ ℤ)
13. k * m ∈ ℕ+
14. ∀i:ℕk. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (mdist(snd((X i));x n i;f i) ≤ (r1/r(k * m)))))])
15. N : i:ℕk ⟶ ℕ
16. ∀i:ℕk. ∀n:ℕ.  (((N i) ≤ n) ⇒ (mdist(snd((X i));x n i;f i) ≤ (r1/r(k * m))))
17. ∃M:ℕ. ∀i:ℕk. ((N i) ≤ M)
⊢ ∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (mdist(prod-metric(k;λi.(snd((X i))));x n;f) ≤ (r1/r(m)))))]
BY
{ (All (RepUR ``mdist prod-metric``) THEN ParallelLast) }

1
.....set predicate..... 
1. k : ℕ
2. X : ℕk ⟶ MetricSpace
3. ∀i:ℕk. mcomplete(X i)
4. λv,w. Σ{(snd((X i))) (v i) (w i) | 0≤i≤k - 1} ∈ metric(i:ℕk ⟶ (fst((X i))))
5. x : ℕ ⟶ i:ℕk ⟶ (fst((X i)))
6. mcauchy(λv,w. Σ{(snd((X i))) (v i) (w i) | 0≤i≤k - 1};n.x n)
7. ∀i:ℕk. mcauchy(snd((X i));n.x n i)
8. ∀i:ℕk. ∃y:fst((X i)). lim n→∞.x n i = y
9. f : i:ℕk ⟶ (fst((X i)))
10. ∀i:ℕk. lim n→∞.x n i = f i
11. m : ℕ+
12. ¬(k = 0 ∈ ℤ)
13. k * m ∈ ℕ+
14. ∀i:ℕk. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (((snd((X i))) (x n i) (f i)) ≤ (r1/r(k * m)))))])
15. N : i:ℕk ⟶ ℕ
16. ∀i:ℕk. ∀n:ℕ.  (((N i) ≤ n) ⇒ (((snd((X i))) (x n i) (f i)) ≤ (r1/r(k * m))))
17. M : ℕ
18. ∀i:ℕk. ((N i) ≤ M)
⊢ ∀n:ℕ. ((M ≤ n) ⇒ (Σ{(snd((X i))) (x n i) (f i) | 0≤i≤k - 1} ≤ (r1/r(m))))

2
1. k : ℕ
2. X : ℕk ⟶ MetricSpace
3. ∀i:ℕk. mcomplete(X i)
4. λv,w. Σ{(snd((X i))) (v i) (w i) | 0≤i≤k - 1} ∈ metric(i:ℕk ⟶ (fst((X i))))
5. x : ℕ ⟶ i:ℕk ⟶ (fst((X i)))
6. mcauchy(λv,w. Σ{(snd((X i))) (v i) (w i) | 0≤i≤k - 1};n.x n)
7. ∀i:ℕk. mcauchy(snd((X i));n.x n i)
8. ∀i:ℕk. ∃y:fst((X i)). lim n→∞.x n i = y
9. f : i:ℕk ⟶ (fst((X i)))
10. ∀i:ℕk. lim n→∞.x n i = f i
11. m : ℕ+
12. ¬(k = 0 ∈ ℤ)
13. k * m ∈ ℕ+
14. ∀i:ℕk. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (((snd((X i))) (x n i) (f i)) ≤ (r1/r(k * m)))))])
15. N : i:ℕk ⟶ ℕ
16. ∀i:ℕk. ∀n:ℕ.  (((N i) ≤ n) ⇒ (((snd((X i))) (x n i) (f i)) ≤ (r1/r(k * m))))
17. M : ℕ
18. ∀i:ℕk. ((N i) ≤ M)
19. N1 : ℕ
20. n : ℕ
21. x1 : N1 ≤ n
22. i : ℕ(k - 1) + 1
⊢ (snd((X i))) (x n i) (f i) ∈ ℝ

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  X  :  \mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  MetricSpace
3.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  mcomplete(X  i)
4.  prod-metric(k;\mlambda{}i.(snd((X  i))))  \mmember{}  metric(i:\mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  (fst((X  i))))
5.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  i:\mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  (fst((X  i)))
6.  mcauchy(prod-metric(k;\mlambda{}i.(snd((X  i))));n.x  n)
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  mcauchy(snd((X  i));n.x  n  i)
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  \mexists{}y:fst((X  i)).  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.x  n  i  =  y
9.  f  :  i:\mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  (fst((X  i)))
10.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.x  n  i  =  f  i
11.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  \mneg{}(k  =  0)
13.  k  *  m  \mmember{}  \mBbbN{}\msupplus{}
14.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (mdist(snd((X  i));x  n  i;f  i)  \mleq{}  (r1/r(k  *  m)))))])
15.  N  :  i:\mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
16.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  \mforall{}n:\mBbbN{}.    (((N  i)  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (mdist(snd((X  i));x  n  i;f  i)  \mleq{}  (r1/r(k  *  m))))
17.  \mexists{}M:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  ((N  i)  \mleq{}  M)
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (mdist(prod-metric(k;\mlambda{}i.(snd((X  i))));x  n;f)  \mleq{}  (r1/r(m)))))]


By

---

Latex:
(All  (RepUR  ``mdist  prod-metric``)  THEN  ParallelLast)

---

Home Index