---

Step * 1 1 1 1 2 1 2 2 of Lemma prod-metric-space-complete


1. k : ℕ
2. X : ℕk ⟶ MetricSpace
3. ∀i:ℕk. mcomplete(X i)
4. λv,w. Σ{(snd((X i))) (v i) (w i) | 0≤i≤k - 1} ∈ metric(i:ℕk ⟶ (fst((X i))))
5. x : ℕ ⟶ i:ℕk ⟶ (fst((X i)))
6. mcauchy(λv,w. Σ{(snd((X i))) (v i) (w i) | 0≤i≤k - 1};n.x n)
7. ∀i:ℕk. mcauchy(snd((X i));n.x n i)
8. ∀i:ℕk. ∃y:fst((X i)). lim n→∞.x n i = y
9. f : i:ℕk ⟶ (fst((X i)))
10. ∀i:ℕk. lim n→∞.x n i = f i
11. m : ℕ+
12. ¬(k = 0 ∈ ℤ)
13. k * m ∈ ℕ+
14. ∀i:ℕk. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (((snd((X i))) (x n i) (f i)) ≤ (r1/r(k * m)))))])
15. N : i:ℕk ⟶ ℕ
16. ∀i:ℕk. ∀n:ℕ.  (((N i) ≤ n) ⇒ (((snd((X i))) (x n i) (f i)) ≤ (r1/r(k * m))))
17. M : ℕ
18. ∀i:ℕk. ((N i) ≤ M)
19. N1 : ℕ
20. n : ℕ
21. x1 : N1 ≤ n
22. i : ℕ(k - 1) + 1
⊢ (snd((X i))) (x n i) (f i) ∈ ℝ
BY
{ ((Assert snd((X i)) ∈ (fst((X i))) ⟶ (fst((X i))) ⟶ ℝ BY Auto) THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  X  :  \mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  MetricSpace
3.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  mcomplete(X  i)
4.  \mlambda{}v,w.  \mSigma{}\{(snd((X  i)))  (v  i)  (w  i)  |  0\mleq{}i\mleq{}k  -  1\}  \mmember{}  metric(i:\mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  (fst((X  i))))
5.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  i:\mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  (fst((X  i)))
6.  mcauchy(\mlambda{}v,w.  \mSigma{}\{(snd((X  i)))  (v  i)  (w  i)  |  0\mleq{}i\mleq{}k  -  1\};n.x  n)
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  mcauchy(snd((X  i));n.x  n  i)
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  \mexists{}y:fst((X  i)).  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.x  n  i  =  y
9.  f  :  i:\mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  (fst((X  i)))
10.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.x  n  i  =  f  i
11.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  \mneg{}(k  =  0)
13.  k  *  m  \mmember{}  \mBbbN{}\msupplus{}
14.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (((snd((X  i)))  (x  n  i)  (f  i))  \mleq{}  (r1/r(k  *  m)))))])
15.  N  :  i:\mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
16.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  \mforall{}n:\mBbbN{}.    (((N  i)  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (((snd((X  i)))  (x  n  i)  (f  i))  \mleq{}  (r1/r(k  *  m))))
17.  M  :  \mBbbN{}
18.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  ((N  i)  \mleq{}  M)
19.  N1  :  \mBbbN{}
20.  n  :  \mBbbN{}
21.  x1  :  N1  \mleq{}  n
22.  i  :  \mBbbN{}(k  -  1)  +  1
\mvdash{}  (snd((X  i)))  (x  n  i)  (f  i)  \mmember{}  \mBbbR{}


By

---

Latex:
((Assert  snd((X  i))  \mmember{}  (fst((X  i)))  {}\mrightarrow{}  (fst((X  i)))  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  BY  Auto)  THEN  Auto)

---

Home Index