---

Step * 1 of Lemma proper-continuous-maps-compact


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. f[x] (proper)continuous for x ∈ I
4. n : {n:ℕ+| icompact(i-approx(I;n)) ∧ iproper(i-approx(I;n))} 
5. i-approx(I;n) ⊆ I 
6. mc : f[x] continuous for x ∈ i-approx(I;n)
7. inf(f[x](x∈i-approx(I;n))) = inf{f[x]|x ∈ i-approx(I;n)}
8. sup(f[x](x∈i-approx(I;n))) = sup{f[x]|x ∈ i-approx(I;n)}
⊢ ∃m:{m:ℕ+| icompact(i-approx((-∞, ∞);m)) ∧ iproper(i-approx((-∞, ∞);m))} 
   ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;n)} . (f[x] ∈ i-approx((-∞, ∞);m))
BY
{ (Assert ∃m:ℕ+. ((r(-m) ≤ inf{f[x]|x ∈ i-approx(I;n)}) ∧ (sup{f[x]|x ∈ i-approx(I;n)} ≤ r(m))) BY
         (With ⌜imax(r-bound(inf{f[x]|x ∈ i-approx(I;n)});r-bound(sup{f[x]|x ∈ i-approx(I;n)}))⌝ (D 0)⋅
          THEN Auto
          THEN Try ((BLemma `imax_strict_ub` THEN Auto))
          THEN Try (((RWO "rmax-int<" 0 THENA Auto) THEN BLemma `rmax_ub` THEN Auto))
          THEN Try (((RWO "minus_imax" 0 THENA Auto)⋅
                     THEN ((RWO "rmin-int<" 0 THENA Auto) THEN BLemma `rmin_lb` THEN Auto)⋅
                     )))) }

1
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. f[x] (proper)continuous for x ∈ I
4. n : {n:ℕ+| icompact(i-approx(I;n)) ∧ iproper(i-approx(I;n))} 
5. i-approx(I;n) ⊆ I 
6. mc : f[x] continuous for x ∈ i-approx(I;n)
7. inf(f[x](x∈i-approx(I;n))) = inf{f[x]|x ∈ i-approx(I;n)}
8. sup(f[x](x∈i-approx(I;n))) = sup{f[x]|x ∈ i-approx(I;n)}
9. ∃m:ℕ+. ((r(-m) ≤ inf{f[x]|x ∈ i-approx(I;n)}) ∧ (sup{f[x]|x ∈ i-approx(I;n)} ≤ r(m)))
⊢ ∃m:{m:ℕ+| icompact(i-approx((-∞, ∞);m)) ∧ iproper(i-approx((-∞, ∞);m))} 
   ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;n)} . (f[x] ∈ i-approx((-∞, ∞);m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  f[x]  (proper)continuous  for  x  \mmember{}  I
4.  n  :  \{n:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;n))  \mwedge{}  iproper(i-approx(I;n))\} 
5.  i-approx(I;n)  \msubseteq{}  I 
6.  mc  :  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  i-approx(I;n)
7.  inf(f[x](x\mmember{}i-approx(I;n)))  =  inf\{f[x]|x  \mmember{}  i-approx(I;n)\}
8.  sup(f[x](x\mmember{}i-approx(I;n)))  =  sup\{f[x]|x  \mmember{}  i-approx(I;n)\}
\mvdash{}  \mexists{}m:\{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx((-\minfty{},  \minfty{});m))  \mwedge{}  iproper(i-approx((-\minfty{},  \minfty{});m))\} 
      \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;n)\}  .  (f[x]  \mmember{}  i-approx((-\minfty{},  \minfty{});m))


By

---

Latex:
(Assert  \mexists{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((r(-m)  \mleq{}  inf\{f[x]|x  \mmember{}  i-approx(I;n)\})  \mwedge{}  (sup\{f[x]|x  \mmember{}  i-approx(I;n)\}  \mleq{}  r(m)))  BY
              (With  \mkleeneopen{}imax(r-bound(inf\{f[x]|x  \mmember{}  i-approx(I;n)\});r-bound(sup\{f[x]|x  \mmember{}  i-approx(I;n)\}))\mkleeneclose{}  (D  0)
                \mcdot{}
                THEN  Auto
                THEN  Try  ((BLemma  `imax\_strict\_ub`  THEN  Auto))
                THEN  Try  (((RWO  "rmax-int<"  0  THENA  Auto)  THEN  BLemma  `rmax\_ub`  THEN  Auto))
                THEN  Try  (((RWO  "minus\_imax"  0  THENA  Auto)\mcdot{}
                                      THEN  ((RWO  "rmin-int<"  0  THENA  Auto)  THEN  BLemma  `rmin\_lb`  THEN  Auto)\mcdot{}
                                      ))))

---

Home Index