---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma pseudo-positive-is-positive-proof2

.....antecedent..... 
1. ∀a:ℕ*. ((∀c:ℕ*. ((¬¬(∃n:ℕ. (¬((a n) = (c n) ∈ ℤ)))) ∨ (¬¬(∃n:ℕ. (¬(0 = (c n) ∈ ℤ)))))) ⇒ (∃n:ℕ. 0 < a n))
2. x : ℝ
3. pseudo-positive(x)
4. d : ∀n:ℕ. ((|x| < (r1)/2^n) ∨ ((r1)/2^(n + 1) < |x|))
5. c : ℕ*
6. if (∀i∈upto(n).(nat-star-retract(λn.if isl(d n) then 0 else 1 fi ) i =z c i))_b then x else r0 fi ↓ as n→∞
⇒ cauchy(n.if (∀i∈upto(n).(nat-star-retract(λn.if isl(d n) then 0 else 1 fi ) i =z c i))_b then x else r0 fi )
⊢ cauchy(n.if (∀i∈upto(n).(nat-star-retract(λn.if isl(d n) then 0 else 1 fi ) i =z c i))_b then x else r0 fi )
BY
{ ((D 0 THEN Auto) THEN (GenConclTerm ⌜nat-star-retract(λn.if isl(d n) then 0 else 1 fi )⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. ∀a:ℕ*. ((∀c:ℕ*. ((¬¬(∃n:ℕ. (¬((a n) = (c n) ∈ ℤ)))) ∨ (¬¬(∃n:ℕ. (¬(0 = (c n) ∈ ℤ)))))) ⇒ (∃n:ℕ. 0 < a n))
2. x : ℝ
3. pseudo-positive(x)
4. d : ∀n:ℕ. ((|x| < (r1)/2^n) ∨ ((r1)/2^(n + 1) < |x|))
5. c : ℕ*
6. if (∀i∈upto(n).(nat-star-retract(λn.if isl(d n) then 0 else 1 fi ) i =z c i))_b then x else r0 fi ↓ as n→∞
⇒ cauchy(n.if (∀i∈upto(n).(nat-star-retract(λn.if isl(d n) then 0 else 1 fi ) i =z c i))_b then x else r0 fi )
7. k : ℕ+
8. v : ℕ*
9. nat-star-retract(λn.if isl(d n) then 0 else 1 fi ) = v ∈ ℕ*
⊢ ∃N:ℕ [(∀n,m:ℕ.
           ((N ≤ n)
           ⇒ (N ≤ m)
           ⇒ (|if (∀i∈upto(n).(v i =z c i))_b then x else r0 fi  - if (∀i∈upto(m).(v i =z c i))_b
              then x
              else r0
              fi | ≤ (r1/r(k)))))]

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  \mforall{}a:\mBbbN{}*
          ((\mforall{}c:\mBbbN{}*.  ((\mneg{}\mneg{}(\mexists{}n:\mBbbN{}.  (\mneg{}((a  n)  =  (c  n)))))  \mvee{}  (\mneg{}\mneg{}(\mexists{}n:\mBbbN{}.  (\mneg{}(0  =  (c  n)))))))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}.  0  <  a  n))
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  pseudo-positive(x)
4.  d  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((|x|  <  (r1)/2\^{}n)  \mvee{}  ((r1)/2\^{}(n  +  1)  <  |x|))
5.  c  :  \mBbbN{}*
6.  if  (\mforall{}i\mmember{}upto(n).(nat-star-retract(\mlambda{}n.if  isl(d  n)  then  0  else  1  fi  )  i  =\msubz{}  c  i))\_b
then  x
else  r0
fi  \mdownarrow{}  as  n\mrightarrow{}\minfty{}
{}\mRightarrow{}  cauchy(n.if  (\mforall{}i\mmember{}upto(n).(nat-star-retract(\mlambda{}n.if  isl(d  n)  then  0  else  1  fi  )  i  =\msubz{}  c  i))\_b
      then  x
      else  r0
      fi  )
\mvdash{}  cauchy(n.if  (\mforall{}i\mmember{}upto(n).(nat-star-retract(\mlambda{}n.if  isl(d  n)  then  0  else  1  fi  )  i  =\msubz{}  c  i))\_b
then  x
else  r0
fi  )


By

---

Latex:
((D  0  THEN  Auto)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}nat-star-retract(\mlambda{}n.if  isl(d  n)  then  0  else  1  fi  )\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  )

---

Home Index