---

Step * 1 2 of Lemma ratio-test

.....aux..... 
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. N : ℕ
3. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)} 
4. ∀n:{N...}. (|x[n + 1]| ≤ (c * |x[n]|))
5. n : ℤ
6. 0 < n
7. |x[N + (n - 1)]| ≤ (c^n - 1 * |x[N]|)
⊢ |x[N + n]| ≤ (c^n * |x[N]|)
BY
{ (Subst ⌜N + n ~ (N + (n - 1)) + 1⌝ 0⋅ THEN Auto)⋅ }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. N : ℕ
3. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)} 
4. ∀n:{N...}. (|x[n + 1]| ≤ (c * |x[n]|))
5. n : ℤ
6. 0 < n
7. |x[N + (n - 1)]| ≤ (c^n - 1 * |x[N]|)
⊢ |x[(N + (n - 1)) + 1]| ≤ (c^n * |x[N]|)

---

Latex:

---

Latex:
.....aux..... 
1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  N  :  \mBbbN{}
3.  c  :  \{c:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  c)  \mwedge{}  (c  <  r1)\} 
4.  \mforall{}n:\{N...\}.  (|x[n  +  1]|  \mleq{}  (c  *  |x[n]|))
5.  n  :  \mBbbZ{}
6.  0  <  n
7.  |x[N  +  (n  -  1)]|  \mleq{}  (c\^{}n  -  1  *  |x[N]|)
\mvdash{}  |x[N  +  n]|  \mleq{}  (c\^{}n  *  |x[N]|)


By

---

Latex:
(Subst  \mkleeneopen{}N  +  n  \msim{}  (N  +  (n  -  1))  +  1\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto)\mcdot{}

---

Home Index