---

Step * of Lemma real-cont-iff-continuous

∀a,b:ℝ.  ((a ≤ b) ⇒ (∀f:[a, b] ⟶ℝ. (real-cont(f;a;b) ⇐⇒ f[x] continuous for x ∈ [a, b])))
BY
{ (Auto THEN All (Unfolds ``real-cont continuous``) THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. ∀k:ℕ+. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx([a, b];m))} 
7. n : ℕ+
⊢ ∃d:ℝ [((r0 < d)
       ∧ (∀x,y:ℝ.
            ((x ∈ i-approx([a, b];m)) ⇒ (y ∈ i-approx([a, b];m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))]

2
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. ∀m:{m:ℕ+| icompact(i-approx([a, b];m))} . ∀n:ℕ+.
     (∃d:ℝ [((r0 < d)
           ∧ (∀x,y:ℝ.
                ((x ∈ i-approx([a, b];m))
                ⇒ (y ∈ i-approx([a, b];m))
                ⇒ (|x - y| ≤ d)
                ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))])
6. k : ℕ+
⊢ ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}a,b:\mBbbR{}.    ((a  \mleq{}  b)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.  (real-cont(f;a;b)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b])))


By

---

Latex:
(Auto  THEN  All  (Unfolds  ``real-cont  continuous``)  THEN  Auto)

---

Home Index