---

Step * 1 of Lemma real-cont-iff-continuous


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. ∀k:ℕ+. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx([a, b];m))} 
7. n : ℕ+
⊢ ∃d:ℝ [((r0 < d)
       ∧ (∀x,y:ℝ.
            ((x ∈ i-approx([a, b];m)) ⇒ (y ∈ i-approx([a, b];m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))]
BY
{ (((InstHyp [⌜n⌝] (-3)⋅ THENA Auto) THEN ExRepD) THEN RepUR ``i-approx`` 0 THEN D 0 With ⌜d⌝  THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\}  .  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|(f  x)  -  f  y|  \mleq{}  (r1/r(k)))\000C)
6.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx([a,  b];m))\} 
7.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
\mvdash{}  \mexists{}d:\mBbbR{}  [((r0  <  d)
              \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                        ((x  \mmember{}  i-approx([a,  b];m))
                        {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx([a,  b];m))
                        {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                        {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n))))))]


By

---

Latex:
(((InstHyp  [\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}]  (-3)\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  ExRepD)
  THEN  RepUR  ``i-approx``  0
  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}d\mkleeneclose{} 
  THEN  Auto)

---

Home Index