---

Step * 1 1 of Lemma real-continuity3


1. a : ℝ@i
2. b : ℝ@i
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ@i
5. (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  (f x ≠ f y ⇒ x ≠ y))
⇒ (∀k:ℕ+. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k)))))
6. ∀k:ℕ+. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))@i
7. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx([a, b];m))} @i
8. n : ℕ+@i
⊢ ∃d:{ℝ| ((r0 < d)
         ∧ (∀x,y:ℝ.
              ((x ∈ i-approx([a, b];m)) ⇒ (y ∈ i-approx([a, b];m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(n))))))}
BY
{ (Subst' i-approx([a, b];m) ~ [a, b] 0 THENA (RepUR ``i-approx`` 0 THEN Auto)) }

1
1. a : ℝ@i
2. b : ℝ@i
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ@i
5. (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  (f x ≠ f y ⇒ x ≠ y))
⇒ (∀k:ℕ+. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k)))))
6. ∀k:ℕ+. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))@i
7. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx([a, b];m))} @i
8. n : ℕ+@i
⊢ ∃d:{ℝ| ((r0 < d) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ [a, b]) ⇒ (y ∈ [a, b]) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(n))))))}

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}@i
2.  b  :  \mBbbR{}@i
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}@i
5.  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    (f  x  \mneq{}  f  y  {}\mRightarrow{}  x  \mneq{}  y))
{}\mRightarrow{}  (\mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}
            \mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\}  .  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|(f  x)  -  f  y|  \mleq{}  (r1/r(k)))))
6.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}
          \mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\}  .  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|(f  x)  -  f  y|  \mleq{}  (r1/r(k))))@i
7.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx([a,  b];m))\}  @i
8.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
\mvdash{}  \mexists{}d:\{\mBbbR{}|  ((r0  <  d)
                  \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                            ((x  \mmember{}  i-approx([a,  b];m))
                            {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx([a,  b];m))
                            {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                            {}\mRightarrow{}  (|(f  x)  -  f  y|  \mleq{}  (r1/r(n))))))\}


By

---

Latex:
(Subst'  i-approx([a,  b];m)  \msim{}  [a,  b]  0  THENA  (RepUR  ``i-approx``  0  THEN  Auto))

---

Home Index