---

Step * of Lemma real-continuity4

∀a,b:ℝ.
  ∀f:[a, b] ⟶ℝ
    (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
    ⇐⇒ ∀k:ℕ+. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))) 
  supposing a < b
BY
{ (InstLemma  `real-continuity1` []
   THEN RepeatFor 4 (ParallelLast')
   THEN D 0
   THEN Auto
   THEN InstLemma `continuous-rneq` [⌜[a, b]⌝;⌜λ2x.f x⌝]⋅
   THEN Auto) }

1
.....antecedent..... 
1. a : ℝ@i
2. b : ℝ@i
3. a < b
4. f : [a, b] ⟶ℝ@i
5. ∀k:ℕ+. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k)))) 
   supposing ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
6. ∀k:ℕ+. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))@i
7. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} @i
8. y : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} @i
9. x = y@i
⊢ f x continuous for x ∈ [a, b]

2
1. a : ℝ@i
2. b : ℝ@i
3. a < b
4. f : [a, b] ⟶ℝ@i
5. ∀k:ℕ+. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k)))) 
   supposing ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
6. ∀k:ℕ+. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))@i
7. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} @i
8. y : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} @i
9. x = y@i
10. ∀a@0,b:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  (f a@0 ≠ f b ⇒ a@0 ≠ b)
⊢ (f x) = (f y)

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}a,b:\mBbbR{}.
    \mforall{}f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
        (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
        \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}
                    \mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
                      \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|(f  x)  -  f  y|  \mleq{}  (r1/r(k))))) 
    supposing  a  <  b


By

---

Latex:
(InstLemma    `real-continuity1`  []
  THEN  RepeatFor  4  (ParallelLast')
  THEN  D  0
  THEN  Auto
  THEN  InstLemma  `continuous-rneq`  [\mkleeneopen{}[a,  b]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.f  x\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index