---

Step * 1 of Lemma real-continuity4

.....antecedent..... 
1. a : ℝ@i
2. b : ℝ@i
3. a < b
4. f : [a, b] ⟶ℝ@i
5. ∀k:ℕ+. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k)))) 
   supposing ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
6. ∀k:ℕ+. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))@i
7. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} @i
8. y : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} @i
9. x = y@i
⊢ f x continuous for x ∈ [a, b]
BY
{ (D 0 THEN Auto) }

1
1. a : ℝ@i
2. b : ℝ@i
3. a < b
4. f : [a, b] ⟶ℝ@i
5. ∀k:ℕ+. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k)))) 
   supposing ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
6. ∀k:ℕ+. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))@i
7. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} @i
8. y : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} @i
9. x = y@i
10. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx([a, b];m))} @i
11. n : ℕ+@i
⊢ ∃d:{ℝ| ((r0 < d)
         ∧ (∀x,y:ℝ.
              ((x ∈ i-approx([a, b];m)) ⇒ (y ∈ i-approx([a, b];m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(n))))))}

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  a  :  \mBbbR{}@i
2.  b  :  \mBbbR{}@i
3.  a  <  b
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}@i
5.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\}  .  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|(f  x)  -  f  y|  \mleq{}  (r1/r(k)))\000C) 
      supposing  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
6.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}
          \mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\}  .  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|(f  x)  -  f  y|  \mleq{}  (r1/r(k))))@i
7.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  @i
8.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  @i
9.  x  =  y@i
\mvdash{}  f  x  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]


By

---

Latex:
(D  0  THEN  Auto)

---

Home Index