---

Step * 1 1 of Lemma real-fun-iff-continuous


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. real-cont(f;a;b) supposing real-fun(f;a;b)
6. real-cont(f;a;b)
7. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
8. y : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
9. x = y
10. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx([a, b];m))} 
11. n : ℕ+
⊢ ∃d:ℝ [((r0 < d)
       ∧ (∀x,y:ℝ.
            ((x ∈ i-approx([a, b];m)) ⇒ (y ∈ i-approx([a, b];m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(n))))))]
BY
{ (Subst' i-approx([a, b];m) ~ [a, b] 0 THENA (RepUR ``i-approx`` 0 THEN Auto)) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. real-cont(f;a;b) supposing real-fun(f;a;b)
6. real-cont(f;a;b)
7. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
8. y : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
9. x = y
10. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx([a, b];m))} 
11. n : ℕ+
⊢ ∃d:ℝ [((r0 < d) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ [a, b]) ⇒ (y ∈ [a, b]) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(n))))))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  real-cont(f;a;b)  supposing  real-fun(f;a;b)
6.  real-cont(f;a;b)
7.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\} 
8.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\} 
9.  x  =  y
10.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx([a,  b];m))\} 
11.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
\mvdash{}  \mexists{}d:\mBbbR{}  [((r0  <  d)
              \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                        ((x  \mmember{}  i-approx([a,  b];m))
                        {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx([a,  b];m))
                        {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                        {}\mRightarrow{}  (|(f  x)  -  f  y|  \mleq{}  (r1/r(n))))))]


By

---

Latex:
(Subst'  i-approx([a,  b];m)  \msim{}  [a,  b]  0  THENA  (RepUR  ``i-approx``  0  THEN  Auto))

---

Home Index