---

Step * 1 of Lemma real-fun-uniformly-positive


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. ∀f:[a, b] ⟶ℝ
     ∃bnd:ℝ. ((r0 ≤ bnd) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (|f x| ≤ bnd)))) 
     supposing ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. real-fun(f;a;b)
6. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (r0 < (f x))
⊢ ∃c:{c:ℝ| r0 < c} . ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (c < (f x))
BY
{ (InstHyp [⌜λx.(r1/f x)⌝] 3⋅ THENA Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. ∀f:[a, b] ⟶ℝ
     ∃bnd:ℝ. ((r0 ≤ bnd) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (|f x| ≤ bnd)))) 
     supposing ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. real-fun(f;a;b)
6. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (r0 < (f x))
7. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
8. y : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
9. x = y
⊢ λx.(r1/f x)[x] = λx.(r1/f x)[y]

2
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. ∀f:[a, b] ⟶ℝ
     ∃bnd:ℝ. ((r0 ≤ bnd) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (|f x| ≤ bnd)))) 
     supposing ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. real-fun(f;a;b)
6. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (r0 < (f x))
7. ∃bnd:ℝ. ((r0 ≤ bnd) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (|(λx.(r1/f x)) x| ≤ bnd))))
⊢ ∃c:{c:ℝ| r0 < c} . ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (c < (f x))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  \mforall{}f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
          \mexists{}bnd:\mBbbR{}.  ((r0  \mleq{}  bnd)  \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (|f  x|  \mleq{}  bnd)))) 
          supposing  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  f[y]))
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  real-fun(f;a;b)
6.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  (r0  <  (f  x))
\mvdash{}  \mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  r0  <  c\}  .  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  (c  <  (f  x))


By

---

Latex:
(InstHyp  [\mkleeneopen{}\mlambda{}x.(r1/f  x)\mkleeneclose{}]  3\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index