---

Step * 2 of Lemma real-subset-connected-lemma


1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. ∀a,b:{x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹.
     ((∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x))))
     ⇒ (∀a0,b0:{x:ℝ| X x} .
           ((↑(a a0))
           ⇒ (↑(b b0))
           ⇒ (a0 < b0)
           ⇒ (∃f,g:ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} 
                ∃x:ℝ. ((∀n:ℕ. (↑(a (f n)))) ∧ (∀n:ℕ. (↑(b (g n)))) ∧ lim n→∞.f n = x ∧ lim n→∞.g n = x)))))
⊢ ∀a,b:{x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹.
    ((∃x:{x:ℝ| X x} . (↑(a x)))
    ⇒ (∃x:{x:ℝ| X x} . (↑(b x)))
    ⇒ (∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x))))
    ⇒ (∃f,g:ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} . ∃x:ℝ. ((∀n:ℕ. (↑(a (f n)))) ∧ (∀n:ℕ. (↑(b (g n)))) ∧ lim n→∞.f n = x ∧ lim n→∞.g n = x)))
BY
{ (Auto THEN Assert ⌜∃a0,b0:{x:ℝ| X x} . ((↑(a a0)) ∧ (↑(b b0)) ∧ a0 ≠ b0)⌝⋅) }

1
.....assertion..... 
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. ∀a,b:{x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹.
     ((∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x))))
     ⇒ (∀a0,b0:{x:ℝ| X x} .
           ((↑(a a0))
           ⇒ (↑(b b0))
           ⇒ (a0 < b0)
           ⇒ (∃f,g:ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} 
                ∃x:ℝ. ((∀n:ℕ. (↑(a (f n)))) ∧ (∀n:ℕ. (↑(b (g n)))) ∧ lim n→∞.f n = x ∧ lim n→∞.g n = x)))))
4. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
6. ∃x:{x:ℝ| X x} . (↑(a x))
7. ∃x:{x:ℝ| X x} . (↑(b x))
8. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
⊢ ∃a0,b0:{x:ℝ| X x} . ((↑(a a0)) ∧ (↑(b b0)) ∧ a0 ≠ b0)

2
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. ∀a,b:{x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹.
     ((∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x))))
     ⇒ (∀a0,b0:{x:ℝ| X x} .
           ((↑(a a0))
           ⇒ (↑(b b0))
           ⇒ (a0 < b0)
           ⇒ (∃f,g:ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} 
                ∃x:ℝ. ((∀n:ℕ. (↑(a (f n)))) ∧ (∀n:ℕ. (↑(b (g n)))) ∧ lim n→∞.f n = x ∧ lim n→∞.g n = x)))))
4. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
6. ∃x:{x:ℝ| X x} . (↑(a x))
7. ∃x:{x:ℝ| X x} . (↑(b x))
8. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
9. ∃a0,b0:{x:ℝ| X x} . ((↑(a a0)) ∧ (↑(b b0)) ∧ a0 ≠ b0)
⊢ ∃f,g:ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} . ∃x:ℝ. ((∀n:ℕ. (↑(a (f n)))) ∧ (∀n:ℕ. (↑(b (g n)))) ∧ lim n→∞.f n = x ∧ lim n→∞.g n = x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  dense-in-interval((-\minfty{},  \minfty{});X)
3.  \mforall{}a,b:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.
          ((\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  \mvee{}  (\muparrow{}(b  x))))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a0,b0:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .
                      ((\muparrow{}(a  a0))
                      {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(b  b0))
                      {}\mRightarrow{}  (a0  <  b0)
                      {}\mRightarrow{}  (\mexists{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
                                \mexists{}x:\mBbbR{}
                                  ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  (\muparrow{}(a  (f  n))))
                                  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (\muparrow{}(b  (g  n))))
                                  \mwedge{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f  n  =  x
                                  \mwedge{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.g  n  =  x)))))
\mvdash{}  \mforall{}a,b:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.
        ((\mexists{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  (\muparrow{}(a  x)))
        {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  (\muparrow{}(b  x)))
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  \mvee{}  (\muparrow{}(b  x))))
        {}\mRightarrow{}  (\mexists{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
                  \mexists{}x:\mBbbR{}.  ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  (\muparrow{}(a  (f  n))))  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (\muparrow{}(b  (g  n))))  \mwedge{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f  n  =  x  \mwedge{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.g  n  =  x)))


By

---

Latex:
(Auto  THEN  Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}a0,b0:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  a0))  \mwedge{}  (\muparrow{}(b  b0))  \mwedge{}  a0  \mneq{}  b0)\mkleeneclose{}\mcdot{})

---

Home Index