---

Step * of Lemma real-subset-connected-lemma

∀X:ℝ ⟶ ℙ
  (dense-in-interval((-∞, ∞);X)
  ⇒ (∀a,b:{x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹.
        ((∃x:{x:ℝ| X x} . (↑(a x)))
        ⇒ (∃x:{x:ℝ| X x} . (↑(b x)))
        ⇒ (∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x))))
        ⇒ (∃f,g:ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} 
             ∃x:ℝ. ((∀n:ℕ. (↑(a (f n)))) ∧ (∀n:ℕ. (↑(b (g n)))) ∧ lim n→∞.f n = x ∧ lim n→∞.g n = x)))))
BY
{ (RepeatFor 2 ((D 0 THENA Auto))
   THEN Assert ⌜∀a,b:{x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹.
                  ((∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x))))
                  ⇒ (∀a0,b0:{x:ℝ| X x} .
                        ((↑(a a0))
                        ⇒ (↑(b b0))
                        ⇒ (a0 < b0)
                        ⇒ (∃f,g:ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} 
                             ∃x:ℝ
                              ((∀n:ℕ. (↑(a (f n)))) ∧ (∀n:ℕ. (↑(b (g n)))) ∧ lim n→∞.f n = x ∧ lim n→∞.g n = x)))))⌝⋅
   ) }

1
.....assertion..... 
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
⊢ ∀a,b:{x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹.
    ((∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x))))
    ⇒ (∀a0,b0:{x:ℝ| X x} .
          ((↑(a a0))
          ⇒ (↑(b b0))
          ⇒ (a0 < b0)
          ⇒ (∃f,g:ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} 
               ∃x:ℝ. ((∀n:ℕ. (↑(a (f n)))) ∧ (∀n:ℕ. (↑(b (g n)))) ∧ lim n→∞.f n = x ∧ lim n→∞.g n = x)))))

2
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. ∀a,b:{x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹.
     ((∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x))))
     ⇒ (∀a0,b0:{x:ℝ| X x} .
           ((↑(a a0))
           ⇒ (↑(b b0))
           ⇒ (a0 < b0)
           ⇒ (∃f,g:ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} 
                ∃x:ℝ. ((∀n:ℕ. (↑(a (f n)))) ∧ (∀n:ℕ. (↑(b (g n)))) ∧ lim n→∞.f n = x ∧ lim n→∞.g n = x)))))
⊢ ∀a,b:{x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹.
    ((∃x:{x:ℝ| X x} . (↑(a x)))
    ⇒ (∃x:{x:ℝ| X x} . (↑(b x)))
    ⇒ (∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x))))
    ⇒ (∃f,g:ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} . ∃x:ℝ. ((∀n:ℕ. (↑(a (f n)))) ∧ (∀n:ℕ. (↑(b (g n)))) ∧ lim n→∞.f n = x ∧ lim n→∞.g n = x)))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}X:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
    (dense-in-interval((-\minfty{},  \minfty{});X)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a,b:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.
                ((\mexists{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  (\muparrow{}(a  x)))
                {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  (\muparrow{}(b  x)))
                {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  \mvee{}  (\muparrow{}(b  x))))
                {}\mRightarrow{}  (\mexists{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
                          \mexists{}x:\mBbbR{}
                            ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  (\muparrow{}(a  (f  n))))  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (\muparrow{}(b  (g  n))))  \mwedge{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f  n  =  x  \mwedge{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.g  n  =  x)))))


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}a,b:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.
                                ((\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  \mvee{}  (\muparrow{}(b  x))))
                                {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a0,b0:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .
                                            ((\muparrow{}(a  a0))
                                            {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(b  b0))
                                            {}\mRightarrow{}  (a0  <  b0)
                                            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
                                                      \mexists{}x:\mBbbR{}
                                                        ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  (\muparrow{}(a  (f  n))))
                                                        \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (\muparrow{}(b  (g  n))))
                                                        \mwedge{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f  n  =  x
                                                        \mwedge{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.g  n  =  x)))))\mkleeneclose{}\mcdot{}
  )

---

Home Index