---

Step * 1 of Lemma real-subset-connected-lemma

.....assertion..... 
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
⊢ ∀a,b:{x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹.
    ((∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x))))
    ⇒ (∀a0,b0:{x:ℝ| X x} .
          ((↑(a a0))
          ⇒ (↑(b b0))
          ⇒ (a0 < b0)
          ⇒ (∃f,g:ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} 
               ∃x:ℝ. ((∀n:ℕ. (↑(a (f n)))) ∧ (∀n:ℕ. (↑(b (g n)))) ∧ lim n→∞.f n = x ∧ lim n→∞.g n = x)))))
BY
{ Auto }

1
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
6. a0 : {x:ℝ| X x} 
7. b0 : {x:ℝ| X x} 
8. ↑(a a0)
9. ↑(b b0)
10. a0 < b0
⊢ ∃f,g:ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} . ∃x:ℝ. ((∀n:ℕ. (↑(a (f n)))) ∧ (∀n:ℕ. (↑(b (g n)))) ∧ lim n→∞.f n = x ∧ lim n→∞.g n = x)

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  X  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  dense-in-interval((-\minfty{},  \minfty{});X)
\mvdash{}  \mforall{}a,b:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.
        ((\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  \mvee{}  (\muparrow{}(b  x))))
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a0,b0:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .
                    ((\muparrow{}(a  a0))
                    {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(b  b0))
                    {}\mRightarrow{}  (a0  <  b0)
                    {}\mRightarrow{}  (\mexists{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
                              \mexists{}x:\mBbbR{}
                                ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  (\muparrow{}(a  (f  n))))
                                \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (\muparrow{}(b  (g  n))))
                                \mwedge{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f  n  =  x
                                \mwedge{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.g  n  =  x)))))


By

---

Latex:
Auto

---

Home Index