---

Step * 1 1 of Lemma real-subset-connected-lemma


1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
6. a0 : {x:ℝ| X x} 
7. b0 : {x:ℝ| X x} 
8. ↑(a a0)
9. ↑(b b0)
10. a0 < b0
⊢ ∃f,g:ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} . ∃x:ℝ. ((∀n:ℕ. (↑(a (f n)))) ∧ (∀n:ℕ. (↑(b (g n)))) ∧ lim n→∞.f n = x ∧ lim n→∞.g n = x)
BY
{ Assert ⌜∃h:ℕ ⟶ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )
           (((fst(h[0])) < (snd(h[0])))
           ∧ (∀n:ℕ
                ((↑(a (fst(h[n]))))
                ∧ (↑(b (snd(h[n]))))
                ∧ let a,b = h[n] 
                  in ∃p:{x:ℝ| X x} 
                      (((a < p) ∧ (p < b))
                      ∧ (((h[n + 1] = <a, p> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((p - a) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))
                        ∨ ((h[n + 1] = <p, b> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((b - p) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a)))))))))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
6. a0 : {x:ℝ| X x} 
7. b0 : {x:ℝ| X x} 
8. ↑(a a0)
9. ↑(b b0)
10. a0 < b0
⊢ ∃h:ℕ ⟶ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )
   (((fst(h[0])) < (snd(h[0])))
   ∧ (∀n:ℕ
        ((↑(a (fst(h[n]))))
        ∧ (↑(b (snd(h[n]))))
        ∧ let a,b = h[n] 
          in ∃p:{x:ℝ| X x} 
              (((a < p) ∧ (p < b))
              ∧ (((h[n + 1] = <a, p> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((p - a) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))
                ∨ ((h[n + 1] = <p, b> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((b - p) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a)))))))))

2
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
6. a0 : {x:ℝ| X x} 
7. b0 : {x:ℝ| X x} 
8. ↑(a a0)
9. ↑(b b0)
10. a0 < b0
11. ∃h:ℕ ⟶ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )
     (((fst(h[0])) < (snd(h[0])))
     ∧ (∀n:ℕ
          ((↑(a (fst(h[n]))))
          ∧ (↑(b (snd(h[n]))))
          ∧ let a,b = h[n] 
            in ∃p:{x:ℝ| X x} 
                (((a < p) ∧ (p < b))
                ∧ (((h[n + 1] = <a, p> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((p - a) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))
                  ∨ ((h[n + 1] = <p, b> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((b - p) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a)))))))))
⊢ ∃f,g:ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} . ∃x:ℝ. ((∀n:ℕ. (↑(a (f n)))) ∧ (∀n:ℕ. (↑(b (g n)))) ∧ lim n→∞.f n = x ∧ lim n→∞.g n = x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  dense-in-interval((-\minfty{},  \minfty{});X)
3.  a  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  b  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
5.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  \mvee{}  (\muparrow{}(b  x)))
6.  a0  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
7.  b0  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
8.  \muparrow{}(a  a0)
9.  \muparrow{}(b  b0)
10.  a0  <  b0
\mvdash{}  \mexists{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
      \mexists{}x:\mBbbR{}.  ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  (\muparrow{}(a  (f  n))))  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (\muparrow{}(b  (g  n))))  \mwedge{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f  n  =  x  \mwedge{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.g  n  =  x)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}h:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\{x:\mBbbR{}|  X  x\}    \mtimes{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}  )
                  (((fst(h[0]))  <  (snd(h[0])))
                  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}
                            ((\muparrow{}(a  (fst(h[n]))))
                            \mwedge{}  (\muparrow{}(b  (snd(h[n]))))
                            \mwedge{}  let  a,b  =  h[n] 
                                in  \mexists{}p:\{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
                                        (((a  <  p)  \mwedge{}  (p  <  b))
                                        \mwedge{}  (((h[n  +  1]  =  <a,  p>)  \mwedge{}  ((p  -  a)  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  (b  -  a))))
                                            \mvee{}  ((h[n  +  1]  =  <p,  b>)  \mwedge{}  ((b  -  p)  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  (b  -  a)))))))))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index