---

Step * 1 1 2 of Lemma real-subset-connected-lemma


1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
6. a0 : {x:ℝ| X x} 
7. b0 : {x:ℝ| X x} 
8. ↑(a a0)
9. ↑(b b0)
10. a0 < b0
11. ∃h:ℕ ⟶ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )
     (((fst(h[0])) < (snd(h[0])))
     ∧ (∀n:ℕ
          ((↑(a (fst(h[n]))))
          ∧ (↑(b (snd(h[n]))))
          ∧ let a,b = h[n] 
            in ∃p:{x:ℝ| X x} 
                (((a < p) ∧ (p < b))
                ∧ (((h[n + 1] = <a, p> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((p - a) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))
                  ∨ ((h[n + 1] = <p, b> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((b - p) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a)))))))))
⊢ ∃f,g:ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} . ∃x:ℝ. ((∀n:ℕ. (↑(a (f n)))) ∧ (∀n:ℕ. (↑(b (g n)))) ∧ lim n→∞.f n = x ∧ lim n→∞.g n = x)
BY
{ (D -1
   THEN (InstLemma `common-limit-squeeze` [⌜λ2n.fst(h[n])⌝;⌜λ2n.snd(h[n])⌝;⌜λ2n.(r(2)/r(3))^n
                                                                            * ((snd(h[0])) - fst(h[0]))⌝]⋅
         THENW Auto
         )
   ) }

1
.....antecedent..... 
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
6. a0 : {x:ℝ| X x} 
7. b0 : {x:ℝ| X x} 
8. ↑(a a0)
9. ↑(b b0)
10. a0 < b0
11. h : ℕ ⟶ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )
12. ((fst(h[0])) < (snd(h[0])))
∧ (∀n:ℕ
     ((↑(a (fst(h[n]))))
     ∧ (↑(b (snd(h[n]))))
     ∧ let a,b = h[n] 
       in ∃p:{x:ℝ| X x} 
           (((a < p) ∧ (p < b))
           ∧ (((h[n + 1] = <a, p> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((p - a) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))
             ∨ ((h[n + 1] = <p, b> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((b - p) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))))))
⊢ ∀n:ℕ. (((fst(h[n])) ≤ (fst(h[n + 1]))) ∧ ((fst(h[n + 1])) ≤ (snd(h[n + 1]))) ∧ ((snd(h[n + 1])) ≤ (snd(h[n]))))

2
.....antecedent..... 
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
6. a0 : {x:ℝ| X x} 
7. b0 : {x:ℝ| X x} 
8. ↑(a a0)
9. ↑(b b0)
10. a0 < b0
11. h : ℕ ⟶ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )
12. ((fst(h[0])) < (snd(h[0])))
∧ (∀n:ℕ
     ((↑(a (fst(h[n]))))
     ∧ (↑(b (snd(h[n]))))
     ∧ let a,b = h[n] 
       in ∃p:{x:ℝ| X x} 
           (((a < p) ∧ (p < b))
           ∧ (((h[n + 1] = <a, p> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((p - a) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))
             ∨ ((h[n + 1] = <p, b> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((b - p) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))))))
⊢ lim n→∞.(r(2)/r(3))^n * ((snd(h[0])) - fst(h[0])) = r0

3
.....antecedent..... 
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
6. a0 : {x:ℝ| X x} 
7. b0 : {x:ℝ| X x} 
8. ↑(a a0)
9. ↑(b b0)
10. a0 < b0
11. h : ℕ ⟶ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )
12. ((fst(h[0])) < (snd(h[0])))
∧ (∀n:ℕ
     ((↑(a (fst(h[n]))))
     ∧ (↑(b (snd(h[n]))))
     ∧ let a,b = h[n] 
       in ∃p:{x:ℝ| X x} 
           (((a < p) ∧ (p < b))
           ∧ (((h[n + 1] = <a, p> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((p - a) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))
             ∨ ((h[n + 1] = <p, b> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((b - p) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))))))
⊢ ∀n:ℕ. r0≤(snd(h[n])) - fst(h[n])≤(r(2)/r(3))^n * ((snd(h[0])) - fst(h[0]))

4
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
6. a0 : {x:ℝ| X x} 
7. b0 : {x:ℝ| X x} 
8. ↑(a a0)
9. ↑(b b0)
10. a0 < b0
11. h : ℕ ⟶ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )
12. ((fst(h[0])) < (snd(h[0])))
∧ (∀n:ℕ
     ((↑(a (fst(h[n]))))
     ∧ (↑(b (snd(h[n]))))
     ∧ let a,b = h[n] 
       in ∃p:{x:ℝ| X x} 
           (((a < p) ∧ (p < b))
           ∧ (((h[n + 1] = <a, p> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((p - a) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))
             ∨ ((h[n + 1] = <p, b> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((b - p) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))))))
13. ∃y:ℝ. (lim n→∞.fst(h[n]) = y ∧ lim n→∞.snd(h[n]) = y)
⊢ ∃f,g:ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} . ∃x:ℝ. ((∀n:ℕ. (↑(a (f n)))) ∧ (∀n:ℕ. (↑(b (g n)))) ∧ lim n→∞.f n = x ∧ lim n→∞.g n = x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  dense-in-interval((-\minfty{},  \minfty{});X)
3.  a  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  b  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
5.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  \mvee{}  (\muparrow{}(b  x)))
6.  a0  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
7.  b0  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
8.  \muparrow{}(a  a0)
9.  \muparrow{}(b  b0)
10.  a0  <  b0
11.  \mexists{}h:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\{x:\mBbbR{}|  X  x\}    \mtimes{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}  )
          (((fst(h[0]))  <  (snd(h[0])))
          \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}
                    ((\muparrow{}(a  (fst(h[n]))))
                    \mwedge{}  (\muparrow{}(b  (snd(h[n]))))
                    \mwedge{}  let  a,b  =  h[n] 
                        in  \mexists{}p:\{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
                                (((a  <  p)  \mwedge{}  (p  <  b))
                                \mwedge{}  (((h[n  +  1]  =  <a,  p>)  \mwedge{}  ((p  -  a)  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  (b  -  a))))
                                    \mvee{}  ((h[n  +  1]  =  <p,  b>)  \mwedge{}  ((b  -  p)  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  (b  -  a)))))))))
\mvdash{}  \mexists{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
      \mexists{}x:\mBbbR{}.  ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  (\muparrow{}(a  (f  n))))  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (\muparrow{}(b  (g  n))))  \mwedge{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f  n  =  x  \mwedge{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.g  n  =  x)


By

---

Latex:
(D  -1
  THEN  (InstLemma  `common-limit-squeeze`  [\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}n.fst(h[n])\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}n.snd(h[n])\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}n.(r(2)/r(3))\^{}n
                                                                                                                                                    *  ((snd(h[0])) 
                                                                                                                                                        -  fst(h[0]))\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENW  Auto
              )
  )

---

Home Index