---

Step * 1 1 2 3 of Lemma real-subset-connected-lemma

.....antecedent..... 
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
6. a0 : {x:ℝ| X x} 
7. b0 : {x:ℝ| X x} 
8. ↑(a a0)
9. ↑(b b0)
10. a0 < b0
11. h : ℕ ⟶ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )
12. ((fst(h[0])) < (snd(h[0])))
∧ (∀n:ℕ
     ((↑(a (fst(h[n]))))
     ∧ (↑(b (snd(h[n]))))
     ∧ let a,b = h[n] 
       in ∃p:{x:ℝ| X x} 
           (((a < p) ∧ (p < b))
           ∧ (((h[n + 1] = <a, p> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((p - a) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))
             ∨ ((h[n + 1] = <p, b> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((b - p) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))))))
⊢ ∀n:ℕ. r0≤(snd(h[n])) - fst(h[n])≤(r(2)/r(3))^n * ((snd(h[0])) - fst(h[0]))
BY
{ InductionOnNat }

1
.....basecase..... 
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
6. a0 : {x:ℝ| X x} 
7. b0 : {x:ℝ| X x} 
8. ↑(a a0)
9. ↑(b b0)
10. a0 < b0
11. h : ℕ ⟶ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )
12. ((fst(h[0])) < (snd(h[0])))
∧ (∀n:ℕ
     ((↑(a (fst(h[n]))))
     ∧ (↑(b (snd(h[n]))))
     ∧ let a,b = h[n] 
       in ∃p:{x:ℝ| X x} 
           (((a < p) ∧ (p < b))
           ∧ (((h[n + 1] = <a, p> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((p - a) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))
             ∨ ((h[n + 1] = <p, b> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((b - p) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))))))
13. n : ℤ
⊢ r0≤(snd(h[0])) - fst(h[0])≤(r(2)/r(3))^0 * ((snd(h[0])) - fst(h[0]))

2
.....upcase..... 
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
6. a0 : {x:ℝ| X x} 
7. b0 : {x:ℝ| X x} 
8. ↑(a a0)
9. ↑(b b0)
10. a0 < b0
11. h : ℕ ⟶ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )
12. ((fst(h[0])) < (snd(h[0])))
∧ (∀n:ℕ
     ((↑(a (fst(h[n]))))
     ∧ (↑(b (snd(h[n]))))
     ∧ let a,b = h[n] 
       in ∃p:{x:ℝ| X x} 
           (((a < p) ∧ (p < b))
           ∧ (((h[n + 1] = <a, p> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((p - a) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))
             ∨ ((h[n + 1] = <p, b> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((b - p) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))))))
13. n : ℤ
14. 0 < n
15. r0≤(snd(h[n - 1])) - fst(h[n - 1])≤(r(2)/r(3))^n - 1 * ((snd(h[0])) - fst(h[0]))
⊢ r0≤(snd(h[n])) - fst(h[n])≤(r(2)/r(3))^n * ((snd(h[0])) - fst(h[0]))

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  X  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  dense-in-interval((-\minfty{},  \minfty{});X)
3.  a  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  b  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
5.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  \mvee{}  (\muparrow{}(b  x)))
6.  a0  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
7.  b0  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
8.  \muparrow{}(a  a0)
9.  \muparrow{}(b  b0)
10.  a0  <  b0
11.  h  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\{x:\mBbbR{}|  X  x\}    \mtimes{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}  )
12.  ((fst(h[0]))  <  (snd(h[0])))
\mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}
          ((\muparrow{}(a  (fst(h[n]))))
          \mwedge{}  (\muparrow{}(b  (snd(h[n]))))
          \mwedge{}  let  a,b  =  h[n] 
              in  \mexists{}p:\{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
                      (((a  <  p)  \mwedge{}  (p  <  b))
                      \mwedge{}  (((h[n  +  1]  =  <a,  p>)  \mwedge{}  ((p  -  a)  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  (b  -  a))))
                          \mvee{}  ((h[n  +  1]  =  <p,  b>)  \mwedge{}  ((b  -  p)  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  (b  -  a))))))))
\mvdash{}  \mforall{}n:\mBbbN{}.  r0\mleq{}(snd(h[n]))  -  fst(h[n])\mleq{}(r(2)/r(3))\^{}n  *  ((snd(h[0]))  -  fst(h[0]))


By

---

Latex:
InductionOnNat

---

Home Index