---

Step * 2 of Lemma regularize-2-regular


1. f : ℤ ⟶ ℤ@i
2. n : ℕ+@i
3. m : ℕ+@i
4. ¬↑regular-upto(m;f)
5. ↑regular-upto(n;f)
6. v : ℕ@i
7. ¬↑regular-upto(v;f)@i
8. ∀[i:ℕ]. ¬¬↑regular-upto(i;f) supposing i < v@i
9. ¬(v = 1 ∈ ℤ)
10. ¬(v = 0 ∈ ℤ)
11. k : ℕ+@i
12. (v - 1) = k ∈ ℕ+@i
⊢ |(m * (f n)) - n * ((m * (f k)) ÷ k)| ≤ (4 * (n + m))
BY
{ (Mul ⌜k⌝ 0⋅
   THEN (Subst' k ~ |k| 0 THENA ((RWO "absval_unfold" 0 THENA Auto) THEN AutoSplit))
   THEN (RWO "absval_mul<" 0 THENA (Auto THEN (RWO "absval_unfold" 0 THENA Auto) THEN AutoSplit))
   THEN (Subst' |k| ~ k 0 THENA ((RWO "absval_unfold" 0 THENA Auto) THEN AutoSplit))) }

1
1. f : ℤ ⟶ ℤ@i
2. n : ℕ+@i
3. m : ℕ+@i
4. ¬↑regular-upto(m;f)
5. ↑regular-upto(n;f)
6. v : ℕ@i
7. ¬↑regular-upto(v;f)@i
8. ∀[i:ℕ]. ¬¬↑regular-upto(i;f) supposing i < v@i
9. ¬(v = 1 ∈ ℤ)
10. ¬(v = 0 ∈ ℤ)
11. k : ℕ+@i
12. (v - 1) = k ∈ ℕ+@i
⊢ |k * ((m * (f n)) - n * ((m * (f k)) ÷ k))| ≤ (k * 4 * (n + m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
2.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
3.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
4.  \mneg{}\muparrow{}regular-upto(m;f)
5.  \muparrow{}regular-upto(n;f)
6.  v  :  \mBbbN{}@i
7.  \mneg{}\muparrow{}regular-upto(v;f)@i
8.  \mforall{}[i:\mBbbN{}].  \mneg{}\mneg{}\muparrow{}regular-upto(i;f)  supposing  i  <  v@i
9.  \mneg{}(v  =  1)
10.  \mneg{}(v  =  0)
11.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
12.  (v  -  1)  =  k@i
\mvdash{}  |(m  *  (f  n))  -  n  *  ((m  *  (f  k))  \mdiv{}  k)|  \mleq{}  (4  *  (n  +  m))


By

---

Latex:
(Mul  \mkleeneopen{}k\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
  THEN  (Subst'  k  \msim{}  |k|  0  THENA  ((RWO  "absval\_unfold"  0  THENA  Auto)  THEN  AutoSplit))
  THEN  (RWO  "absval\_mul<"  0  THENA  (Auto  THEN  (RWO  "absval\_unfold"  0  THENA  Auto)  THEN  AutoSplit))
  THEN  (Subst'  |k|  \msim{}  k  0  THENA  ((RWO  "absval\_unfold"  0  THENA  Auto)  THEN  AutoSplit)))

---

Home Index